Question

【题目】如图，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为 C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）根据图象，直接写出满足x+2≥﹣x2+bx+c的x的取值范围；

（3）设点D为该抛物线上的一点、连结AD，若∠DAC＝∠CBO，求点D的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当x≥0或x≤﹣4；（3）D 点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．

【解析】

（1）由直线y＝x+2求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；

（2）观察图象，找出直线在抛物线上方的x的取值范围；

（3）如图，过D点作x轴的垂线，交x轴于点E，先求出CO＝1，AO＝4，再由∠DAC＝∠CBO，得出tan∠DAC＝tan∠CBO，从而有，,最后分类讨论确定点D的坐标．

解：（1）由y＝x+2可得：

当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，

∴A（﹣4，0），B（0，2），

把A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得： ，，

∴抛物线的解析式为：

（2）当x≥0或x≤﹣4时，x+2≥﹣x2+bx+c

（3）如图，过D点作x轴的垂线，交x轴于点E，

由令y＝0，

解得：x1＝1，x2＝﹣4，

∴CO＝1，AO＝4，

设点D的坐标为（m，），

∵∠DAC＝∠CBO，

∴tan∠DAC＝tan∠CBO，

∴在Rt△ADE和Rt△BOC中有，

当D在x轴上方时，

解得：m1＝0，m2＝﹣4（不合题意，舍去），

∴点D的坐标为（0，2）．

当D在x轴下方时，

解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），

∴点D的坐标为（2，﹣3），

故满足条件的D 点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．