Question

【题目】如图，是等边三角形，，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一动点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接交于．

（1）证明：在运动过程中，点是线段的中点；

（2）当时，求的长；

（3）在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）2；（3）运动过程中线段长不发生变化，定值为3．

【解析】

(1)过点作，交于点，根据题目已知条件可证的是等边三角形，再证得，从而得到DQ=DP，即可证得结果；

(2)根据题目条件得出BQ=BD，由(1)知，△DQB≌△DPF得出PF=FD，再利用△APF是等边三角形即可得出结果；

(3) 由(1)得是等边三角形得出，由(1)知，△DQB≌△DPF，得出DF=DB，即可得出结果．

(1)证明：如图，过点作，交于点．

，，

是等边三角形

在△DQB和△DPF中

∴

∴点是线段的中点．

(2)，，

，

由(1)知，，

，

是等边三角形，

，

，

，

；

(3)解：运动过程中线段长不发生变化，定值为3．

∵由(1)得是等边三角形

，

由(1)得

，即

．