Question

5．如图1，已知在直角坐标系xOy中，正△OBC的边长和等腰直角△DEF的底边都为6，点E与坐标原点O重合，点D、B在x轴上，连结FC，在△DEF沿X轴的正方向以每秒$\sqrt{3}$+1个单位运动时，边EF所在直线和边OC所在直线相交于G，设运动时间为t．

（1）如图2，当t=1时，①求OE的长；②求∠FGC的度数；③求G点坐标；
（2）①如图3，当t为多少时，点F恰在△OBC的OC边上；
②在点F、C、G三点不共线时，记△FCG的面积为S，用含t的代数式表示S，并写出t的相应取值范围．

Answer 1

分析 （1）①把t=1代入求解即可，
②由等腰直角三角形及等边三角形的性质得出∠DEF=45°，∠COB=60°，再利用∠FGC=∠OGE=180°-45°-60°求解即可．
③过点G作GH⊥OE于点H，先求出GH，利用OH+HE=OH+$\sqrt{3}$OH=1+$\sqrt{3}$，得出OH=1，即可得出G点坐标
（2）①过点G作GP⊥OB于点P，设OP=a，由特殊三角形性质得出GP=$\sqrt{3}$a=PE=DP，利用DE=DP+PE=2$\sqrt{3}$a=6，得a=$\sqrt{3}$，利用OE=OP+PE=（1+$\sqrt{3}$）a，即可得出t的值；
②分三种情况当0＜t＜$\sqrt{3}$时，当$\sqrt{3}$＜t＜3时，当t＞3时，分别求解即可．

解答 解：（1）①∵△DEF沿X轴的正方向以每秒$\sqrt{3}$+1个单位运动，
∴OE=$\sqrt{3}$+1，
②∵在等腰直角△DEF中，∠DEF=45°，在等边△BOC中，∠COB=60°，
∴∠FGC=∠OGE=180°-45°-60°=75°．
③如图2，过点G作GH⊥OE于点H，

∵∠COB=60°，
∴GH=$\sqrt{3}$OH=HE，
∴OH+HE=OH+$\sqrt{3}$OH=1+$\sqrt{3}$，即OH=1，
∴G（1，$\sqrt{3}$）．
（2）①如图3，过点G作GP⊥OB于点P，设OP=a，

∴GP=$\sqrt{3}$a=PE=DP，
∴DE=DP+PE=2$\sqrt{3}$a=6，得a=$\sqrt{3}$，
∴OE=OP+PE=（1+$\sqrt{3}$）a，即t=$\frac{（1+\sqrt{3}）a}{1+\sqrt{3}}$=a=$\sqrt{3}$，
②当0＜t＜$\sqrt{3}$时，如图4，过点F，C作GM⊥DE，CN⊥OB，

OH=t，HG=$\sqrt{3}$t=EH，
∴HM=3-$\sqrt{3}$t，HN=3-t，MH=6，FM=3，CN=3$\sqrt{3}$，
则S_△FCG=S_梯形MNCF-S_梯形GHMF-S_梯形GHNC=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$t²-（6+3$\sqrt{3}$）t+$\frac{9\sqrt{3}+9}{2}$（0＜t＜$\sqrt{3}$），
同理，当$\sqrt{3}$＜t＜3时，S_△FCG=-$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$t²+（6+3$\sqrt{3}$）t-$\frac{9\sqrt{3}+9}{2}$，
当t＞3时，S_△FCG=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$t²-（6+3$\sqrt{3}$）t+$\frac{9\sqrt{3}+9}{2}$．

点评 本题主要考查了特殊三角形及梯形的综合运用，解题的关键是能结合图形，分三种情况讨论求解．