Question

1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△ABO如图放置，点A、B的坐标分别为（0，3）、（1，3），将此直角三角形绕点O顺时针旋转90°，得到Rt△A′B′O，若抛物线y=-x²+bx+c过点A，A′，与x轴的另一个交点为C．
（1）求点C的坐标；
（2）设抛物线的顶点为D，过点D作直线DM⊥x轴于M，P为线段BM上一动点，求以A，B，P为顶点的三角形和以C，P，M为顶点的三角形相似时点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点E，使得△AA′D和△AA′E的面积相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质易得点A'的坐标为（3，0），再把A （0，3），A'（3，0）代入y=-x²+bx+c中得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c可得抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，然后计算函数值为0时的自变量得值即可得到C（-1，0）；
（2）如图1，先利用抛物线的性质得到顶点D的坐标为（1，4），抛物线的对称轴为直线x=1，则可判断点B在直线DM上，设点P的坐标为（1，y），然后分类讨论：当△ABP∽△CMP时，利用相似比得$\frac{1}{2}$=$\frac{3-y}{y}$；
当△ABP∽△PMC时，利用相似比得$\frac{1}{y}$=$\frac{3-y}{2}$，再分别解方程求出y即可得到满足条件的P点坐标；
（3）如图2，易得直线AA'的解析式为y=-x+3，利用三角形面积公式，利用△AA′D和△AA′E的面积相等可判断直线DE∥AA′，则可设直线DE的解析式为y=-x+q，接着把D（1，4）代入求出q得到直线DE的解析式为y=-x+5，则直线y=-x+5与y轴的交点F的坐标为（0，5），于是通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$可得E点坐标为（2，3）；然后把直线AA′向下平移2个单位所得直线解析式为y=-x+1，所以直线y=-x+1到直线AA′的距离等于直线DE到AA′的距离，设直线y=-x+1于抛物线交于点E′和E″，利用三角形面积公式可判断△AA′D、△AA′E′、△AA′E″的面积都相等，则可通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$可确定此时E点坐标．

解答 解：（1）∵Rt△A'B'O由Rt△ABO旋转得到，点A的坐标为（0，3），
∴点A'的坐标为（3，0），
∵抛物线y=-x²+bx+c过A （0，3），A'（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}c=3\\-9+3b+c=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ c=3\end{array}\right.$，
∴过点A，A'的抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
令y=0，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴C（-1，0）；
（2）如图1，y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，则顶点D的坐标为（1，4），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点B在直线DM上，
设点P的坐标为（1，y），则AB=1，CM=2，PM=y，BP=3-y，
当△ABP∽△CMP时，$\frac{AB}{CM}$=$\frac{BP}{MP}$，即$\frac{1}{2}$=$\frac{3-y}{y}$，解得y=2，此时P点坐标为（1，2）；
当△ABP∽△PMC时，$\frac{AB}{PM}$=$\frac{PB}{CM}$，即$\frac{1}{y}$=$\frac{3-y}{2}$，
整理得y²-3y+2=0，解得y₁=1，y₂=2，此时P点坐标为（1，1）或（1，2），
综上所述，满足条件的P点坐标为（1，1）或（1，2）；
（3）存在．
如图2，易得直线AA'的解析式为y=-x+3，
∵△AA′D和△AA′E的面积相等，
∴直线DE∥AA′，
设直线DE的解析式为y=-x+q，
把D（1，4）代入得-1+q=4，解得q=5，
∴直线DE的解析式为y=-x+5，
则直线y=-x+5与y轴的交点F的坐标为（0，5），
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，此时E点坐标为（2，3）；
∵AF=5-3=2，
∴把直线AA′向下平移2个单位所得直线解析式为y=-x+1，直线y=-x+1到直线AA′的距离等于直线DE到AA′的距离，
设直线y=-x+1于抛物线交于点E′和E″，此时△AA′D、△AA′E′、△AA′E″的面积都相等，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，此时E点坐标为（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）；
综上所述，E点坐标为（2，3）或（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、旋转的性质和相似三角形的性质；能利用待定系数法求函数解析式，会求抛物线与一次函数的交点坐标；理解坐标与图形的性质；会灵活运用三角形面积公式．