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【题目】如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N,连接BM,DN.

(1)求证:四边形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求MD的长.

【答案】
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,

∴AD∥BC,∠A=90°,

∴∠MDO=∠NBO,∠DMO=∠BNO,

∵在△DMO和△BNO中,

∴△DMO≌△BNO(AAS),

∴OM=ON,

∵OB=OD,

∴四边形BMDN是平行四边形,

∵MN⊥BD,

∴平行四边形BMDN是菱形


(2)解:∵四边形BMDN是菱形,

∴MB=MD,

设MD长为x,则MB=DM=x,

在Rt△AMB中,BM2=AM2+AB2

即x2=(8﹣x)2+42

解得:x=5,

所以MD长为5.


【解析】(1)根据矩形性质求出AD∥BC,推出∠MDO=∠NBO,∠DMO=∠BNO,证△DMO≌△BNO,推出OM=ON,得出平行四边形BMDN,推出菱形BMDN;(2)根据菱形性质求出DM=BM,在Rt△AMB中,根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2 , 推出x2=x2﹣16x+64+16,求出即可.

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A.
B.
C.
D.

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