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【题目】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D△ABC内一点,且BD=AD.

(1)求证:CD⊥AB;

(2)∠CAD=15°,EAD延长线上的一点,且CE=CA.

求证:DE平分∠BDC;

若点MDE上,且DC=DM,请判断ME、BD的数量关系,并给出证明;

N为直线AE上一点,且△CEN为等腰三角形,直接写出∠CNE的度数.

【答案】(1)详见解析;(2)①详见解析;②:ME=BD,证明详见解析;③∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°.

【解析】

(1)根据中垂线的判定定理与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上可得出结论.

(2)①由∠CAD=15°,BD=AD与直角等腰三角形的性质可知,∠DBA=DAB=30°,则可得∠BDE=30°+30°=60°,又根据SSS可证ADC≌△BDC,则∠ACD=BCD=45°,可知∠CDE=ACD+CAD=45°+15°=60°,故DE平分∠BDC.

②连接MC,由DC=DMCDE=60°,可知MCD为等边三角形,∠ECM=CMD-CAD=45°则根据SAS可证BDC≌△EMC,得出结论ME=BD.

③根据题意可知,分类:当EN=EC时;当EN=CN时;当CE=CN时三种情况求出∠CNE的度数.

(1)证明:∵CB=CADB=DA

CD垂直平分线段AB

CDAB

故答案为:CDAB.

(2)①证明:∵AC=BC

∴∠CBA=CAB

又∵∠ACB=90°,

∴∠CBA=CAB=45°,

又∵在ADCBDC中,

∴△ADC≌△BDCSSS

∴∠CAD=CBD=15°,

∴∠DBA=DAB=30°,

∴∠BDE=30°+30°=60°,

∵∠ACB=90°,ACD=BCD

∴∠ACD=BCD=45°,

∴∠CDE=ACD+CAD=45°+15°=60°,

∵∠CDE=BDE=60°,

DE平分∠BDC

故答案为:DE平分∠BDC.

②结论:ME=BD

理由:连接MC

DC=DMCDE=60°,

∴△MCD为等边三角形,

CM=CDCMD=60°,

又∵EC=CACAD=15°,

∴∠ECM=CMD-CAD=45°,

BDCEMC中,

∴△BDC≌△EMCSAS

ME=BD

故答案为:ME=BD.

③当EN=EC时,∠ENC=7.5°82.5°;

EN=CN时,∠ENC=150°;

CE=CN时,∠CNE=15°,

故答案为:∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°.

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