【题目】如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8 cm,AB=10 cm. 现有一动点P,从A点出发,沿着三角形的边AC-CB-BA运动,回到A点停止,速度为1 cm/s,设运动时间为t s.
(1)当t=_______时,△ABC的周长被线段AP平分为相等的两部分.
(2)当t=_______时,△APC的面积等于△ABC面积的一半.
(3)还有一个△DEF,∠E=90°,如图②所示,DE=4cm,DF=5cm,∠D=∠A. 在△ABC的边上,若另外有一个动点Q,与P 同时从A点出发,沿着边AB-BC-CA运动,回到点A停止. 在两点运动过程中某一时刻,恰好△APQ与△DEF全等,则点Q的运动速度 cm/s.
【答案】(1)12 (2)11 (3).
【解析】
(1)根据△ABC的周长,结合点P的运动路线即可求出;
(2) 根据△ABC的面积,结合点P的运动路线即可求出;
(3)分情况讨论, ①当点P在AC上,点Q在AB上时,又分两种情况; ②当点P在AB上,点Q在AC上时,又分两种情况.
(1)∵△ABC的周长=AC+BC+AB=8+6+10=24,
∴△ABC的周长被平分为相等的两部分时,
点P运动的路程为12,
又∵速度为1 cm/s,
∴运动时间t=12÷1=12S.
故答案为:12.
(2)∵∠C=90°,BC=6cm,AC=8 cm,
∴△ABC的面积=6×8÷2=24,
当△APC的面积等于△ABC面积的一半时,
△APC的面积为12,
此时点P在BC上,
∴8×(t-8) ÷2=12
解得t=11
故答案为:11.
(3)设点Q的运动速度为x cm/s.
①当点P在AC上,点Q在AB上,△APQ≌△DEF时,
AP=DE=4cm,AQ=DF=5cm,
∴4÷1=5÷x
解得x=,
②当点P在AC上,点Q在AB上,△APQ≌△DFE时,
AP= DF =5cm,AQ=DE=4cm,
∴5÷1=4÷x,
解得x=,
③当点P在AB上,点Q在AC上,△AQP≌△DEF时,
AP= DF =5cm,AQ=DE=4cm,
∴(24-5) ÷1=(24-4) ÷x
解得x=,
④当点P在AB上,点Q在AC上,△APQ≌△DEF时,
AP= DF =5cm,AQ=DE=4cm,
∴(24-4) ÷1=(24-5) ÷x
解得x=.
故答案为:.
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【题目】如下图,△MNP中,∠P=60°,MN=NP,MQ⊥PN,垂足为Q,延长MN至G,取NG=NQ,若△MNP的周长为12,MQ=a,则△MGQ周长是( )
A. 8+2a B. 8+a C. 6+a D. 6+2a
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【题目】如图,已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A,B两点,抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点,点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求△ABC的面积;
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使△ABM为等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,求出点M的坐标.
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【题目】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D为△ABC内一点,且BD=AD.
(1)求证:CD⊥AB;
(2)∠CAD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.
①求证:DE平分∠BDC;
②若点M在DE上,且DC=DM,请判断ME、BD的数量关系,并给出证明;
③若N为直线AE上一点,且△CEN为等腰三角形,直接写出∠CNE的度数.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,BD=CF,BE=CD,∠EDF=a,则下列结论正确的是( )
A. a+∠A=90° B. a+∠A=180° C. 2a+∠A=90° D. 2a+∠A=180°
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【题目】一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK,△ACB做了一个探究活动:将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处,设AC=BC=a.
(1)如图1,两个三角尺的重叠部分为△ACM,则重叠部分的面积为 , 周长为;
(2)将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°,得到图2,此时重叠部分的面积为 , 周长为;
(3)如果将△MNK绕M旋转到不同于图1,图2的位置,如图3所示,猜想此时重叠部分的面积为多少?并试着加以验证.
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【题目】如图,正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG,EF与AD相交于点H,延长DA交GF于点K.若正方形ABCD边长为 ,则AK= .
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