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【题目】如果抛物线的顶点在抛物线上,同时,抛物线的顶点在抛物线上,那么,我们称抛物线关联.

(1)已知抛物线,判断下列抛物线:①;② 与已知抛物线是否关联,并说明理由;

(2)已知抛物线: ,点P的坐标为,将抛物线绕点旋转180°得到抛物线(此处我们称点P为旋转点),若抛物线关联,求抛物线的解析式;

(3)在(2)的条件下,已知点是抛物线上的一点,求以点A为顶点并与抛物线相关联的抛物线的解析式,并判断此时抛物线能否由抛物线旋转得来?若能,请求出旋转点坐标;若不能,请说明你的理由;

(4)由上述结论猜想:若两抛物线相关联,则它们的二次式项系数(分别记为)应满足数量关系:

参考公式(中点坐标公式):若点,则线段AB的中点坐标为

【答案】(1)抛物线①与已知抛物线相关联,而抛物线②不与已知抛物线相关联,理由见解析;(2)抛物线 ;(3)旋转点;(4)

【解析】试题分析:(1)首先求出抛物线①、②的顶点坐标,然后根据定义的抛物线关联条件即可进行判断.

(2)先求出抛物线C1的顶点坐标,设C2顶点为(x,y),根据旋转可知抛物线C2的顶点与C1的顶点关于点P(t,-1)对称,从而可用含t的代数式表示C2的顶点坐标,然后根据定义代入C1的解析式,确定出C2的顶点,从而可求出C2的解析式;

(3)根据题意求出A点坐标,从而可利用顶点式来确定C2的解析式,从而可确定出旋转点的坐标;

(4)根据定义若关联,则二次项系数互为相反数,从而可得.

试题解析:(1)已知抛物线,顶点坐标为

抛物线①,顶点坐标为

抛物线②,顶点坐标为

很明显点在抛物线①上,且点也在已知抛物线

上,而点并不在已知抛物线上,

故抛物线①与已知抛物线相关联,而抛物线②不与已知抛物线相关联;

(2)抛物线: ,顶点坐标为

设抛物线的顶点坐标为,根据中点坐标公式:

解得: .将代入抛物线

即: ,解得:t=0或t=2,

即抛物线的顶点坐标为

又抛物线与抛物线开口大小相同,但方向相反,

∴抛物线

即抛物线

(3)将代入抛物线,得:

设抛物线 ,将抛物线的顶点代入,

解得: .此时抛物线 ,即

∵两抛物线开口大小相同,但方向相反,∴抛物线能否由抛物线旋转得来,

旋转点为两顶点的中点,即

(4)

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