【题目】(1)操作发现
如图①,在五边形中,,,试猜想之间的数量关系,小明经过仔细思考,得到如下解题思路:将绕点逆时针旋转90°至,由,得,即点三点共线,易证,故之间的数量关系是________;
(2)类比探究
如图②,在四边形中,,,点分别在边的延长线上,,连接,试猜想之间的数量关系,并给出证明;
(3)拓展延伸
如图③,在中,,,点均在边上,且,若,则的长为________.
【答案】(1);(2),证明见解析;(3).
【解析】
(1)如图1,将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF,由∠B=∠AED=90°,得∠DEF=180°,即点D,E,F三点共线,易证△ACD≌△AFD,可得结论;
(2)如图2,将△ABE绕点A逆时针旋转,使AB与AD重合,得到△ADE',证明△AFE≌△AFE',据全等三角形的性质解答;
(3)将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD',使AB与AC重合,连接ED',根据全等三角形的性质、勾股定理计算.
(1)BC,CD,DE之间的数量关系为:,理由是:
如图1,将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF,由∠B=∠AED=∠AEF=90°,得∠DEF=180°,即点D,E,F三点共线,
∵∠BAE=90°,∠CAD=45°,
∴∠BAC+∠DAE=∠DAE+∠EAF=45°,
∴∠CAD=∠FAD,
∵AD=AD,
∴△ACD≌△AFD(SAS),
∴CD=DF=DE+EF=DE+BC,
故答案为: CD=DE+BC;
(2)如图2,之间的数量关系是,
证明:将绕点逆时针旋转,使与重合,得到,则,
∴,,,,
∴,
∵,,
,即三点共线,
又,
∴,在和中,,,,
∴,
∴,
又∵,
∴.
(3)如图3,将绕点逆时针旋转至,使与重合,连接,则,
由(1)同理得,,
∴.
∵,
∴,
在中,,
即.
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【题目】2019年“519(我要走)全国徒步日(江夏站)”暨第六届“环江夏”徒步大会5月19日在美丽的花山脚下降重举行.组委会(活动主办方)为了奖励活动中取得了好成绩的参赛选手,计划购买共100件的甲、乙两种纪念品发放.其中甲种纪念品每件售价120元,乙种纪念品每件售价80元.
(1)如果购买甲、乙两种纪念品一共花费了9600元,求购买甲、乙两种纪念品各是多少件?
(2)设购买甲种纪念品件,如果购买乙种纪念品的件数不超过甲种纪念品的数量的2倍,并且总费用不超过9400元.问组委会购买甲、乙两种纪念品共有几种方案?哪一种方案所需总费用最少?最少总费用是多少元?
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【题目】七(2)班共有50名学生,老师安排每人制作一件型或型的陶艺品,学校现有甲种制作材料36,乙种制作材料29,制作、两种型号的陶艺品用料情况如下表:
需甲种材料 | 需乙种材料 | |
1件型陶艺品 | 0.9 | 0.3 |
1件型陶艺品 | 0.4 | 1 |
(1)设制作型陶艺品件,求的取值范围;
(2)请你根据学校现有材料,分别写出七(2)班制作型和型陶艺品的件数.
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【题目】某射击队准备从甲、乙两名队员中选取一名队员代表该队参加比赛,特为甲、乙两名队员举行了一次选拔赛,要求这两名队员各射击10次.比赛结束后,根据比赛成绩情况,将甲、乙两名队员的比赛成绩制成了如下的统计图(表):
甲队员的成绩统计表
成绩(单位:环) | 7 | 8 | 9 | 10 |
次数(单位:次) | 5 | 1 | 2 | 2 |
(1)在图1中,求“8环”所在扇形的圆心角的度数;
(2)经过整理,得到的分析数据如表,求表中的a、b、c的值.
队员 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
甲 | 8 | 7.5 | 7 | c |
乙 | a | b | 7 | 1 |
(3)根据甲、乙两名队员的成绩情况,该射击队准备选派乙参加比赛,请你写出一条射击队选派乙的理由.
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【题目】如图,在中,,点在上,点同时从点出发,分别沿以每秒个单位长度的速度向点匀速运动,点到达点后立刻以原速度沿向点运动,点运动到点时停止,点也随之停止.在点运动过程中,以为边作正方形使它与在线段的同铡.设运动的时间为秒,正方形与重叠部分面积为.
当时,求正方形的顶点刚好落在线段上时的值;
当时,直接写出当为等腰三角形时的值.
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【题目】我校为创建书香校园,4月份购进一批图书,经了解,科普书的单价比文学书的单价多4元,用1500元购进的科普书与1000元购进的文学书本数相等.
(1)求4月份购进的科普书和文学书的单价各是多少元?
(2)若5月份科普书和文学书的单价与4月份相比保持不变,我校现打算用1250元再购进一批科普书和文学书,问购进科普书65本后至多还能购进多少本文学书?
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【题目】甲、乙人5场10次投篮命中次数如图
(1)填写表格.
平均数 | 众数 | 中位数 | 方差 | |
甲 | ______ | 8 | 8 | ______ |
乙 | 8 | ______ | ______ | 3.2 |
(2)①教练根据这5个成绩,选择甲参加投篮比赛,理由是什么?
②如果乙再投篮1场,命中8次,那么乙的投监成绩的方差将会怎样变化?(“变大”“变小”或”不变”)
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【题目】有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形,这两边中较长边称为智慧边,这两边的夹角叫做智慧角.
(1)已知为智慧三角形,且的一边长为,则该智慧三角形的面积为_________;
(2)如图①,在中,,,求证:是智慧三角形;
(3)如图②,是智慧三角形,为智慧边,为智慧角,,点在函数()的图象上,点在点的上方,且点的纵坐标为,当是直角三角形时,求的值.
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【题目】已知,如图,在平面直角坐标系中,直线 与轴交于点A,与轴交于点B,抛物线经过A、B两点,与轴的另一个交点为C.
(1)直接写出点A和点B的坐标;
(2)求抛物线的函数解析式;
(3)D为直线AB下方抛物线上一动点;
①连接DO交AB于点E,若DE:OE=3:4,求点D的坐标;
②是否存在点D,使得∠DBA的度数恰好是∠BAC度数2倍,如果存在,求点D 的坐标,如果不存在,说明理由.
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