Question

【题目】已知，如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴交于点A，与轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与轴的另一个交点为C．

（1）直接写出点A和点B的坐标；

（2）求抛物线的函数解析式；

（3）D为直线AB下方抛物线上一动点；

①连接DO交AB于点E，若DE：OE=3：4，求点D的坐标；

②是否存在点D，使得∠DBA的度数恰好是∠BAC度数2倍，如果存在，求点D 的坐标，如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(-4，0)、B（0，-2）；（2）；（3）①（-1，3）或（-3，-2）；②（-2，-3）．

【解析】

（1）在中由求出对应的x的值，由x=0求出对应的y的值即可求得点A、B的坐标；

（2）把（1）中所求点A、B的坐标代入中列出方程组，解方程组即可求得b、c的值，从而可得二次函数的解析式；

（3）①如图，过点D作x轴的垂线交AB于点F，连接OD交AB于点E，由此易得△DFE∽OBE，这样设点D的坐标为，点F的坐标为,结合相似三角形的性质和DE：OE=3:4，即可列出关于m的方程，解方程求得m的值即可得到点D的坐标；

②在y轴的正半轴上截取OH=OB，可得△ABH是等腰三角形，由此可得∠HAB=2∠BAC，若此时∠DAB =2∠BAC=∠HAB，则BD∥AH，再求出AH的解析式可得BD的解析式，由BD的解析式和抛物线的解析式联立构成方程组，解方程组即可求得点D的坐标．

解：（1）在中，由可得：，解得：；

由可得：，

∴点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，-2）；

（2）把点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，-2）代入得：

，解得： ，

∴抛物线的解析式为：；

（3）①过点D作x轴的垂线交AB于点F，

设点D，F,

连接DO交AB于点E，△DFE∽OBE，

因为DE：OE=3：4，

所以FD：BO=3：4，

即：FD=BO= ,

所以,

解之得： m1=-1，m2=-3 ，

∴D的坐标为（-1，3）或（-3，-2）；

②在y轴的正半轴上截取OH=OB，可得△ABH是等腰三角形，

∴∠BAH=2∠BAC，

若∠DBA=2∠BAC，则∠DBA=∠BAH，

∴AH//DB，

由点A的坐标（-4，0）和点H的坐标（0，2）求得直线AH的解析式为：，

∴直线DB的解析式是：,

将：联立可得方程组：，

解得： ，

∴点D的坐标（-2，-3）．