Question

4．如图，正方形ABCD边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．
（1）求证：∠HEA=∠CGF；
（2）当AH=DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；
（3）设AH=x，DG=2x，△FCG的面积为y，试求y的最大值．

Answer 1

分析 （1）过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE，由AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由GE为菱形的对角线，利用菱形的性质得到一对内错角相等，利用等式的性质即可得证；
（2）由于四边形ABCD为正方形，四边形HEFG为菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG=∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG=90°，易证四边形HEFG为正方形；
（3）欲求△FCG的面积，由已知得CG的长易求，只需求出GC边的高，通过证明△AHE≌△MFG可得．

解答 （1）证明：过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE，
∵CD∥AB，
∴∠AEG=∠MGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠FGM；

（2）证明：在△HDG和△AEH中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠A=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
在Rt△HDG和△AEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{HG=HE}\\{DG=AH}\end{array}\right.$，
∴Rt△HDG≌△AEH（HL），
∴∠DHG=∠AEH，
∴∠DHG+∠AHE=90°
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH为正方形；

（3）解：过F作FM⊥CD于M，
在△AHE与△MFG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠M=90°}\\{∠AEH=∠FGM}\\{HE=FG}\end{array}\right.$，
∴△AHE≌△MFG，
∴MF=AH=x，
∵DG=2x，
∴CG=6-2x，
∴y=$\frac{1}{2}$CG•FM=$\frac{1}{2}$•x•（6-2x）=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∵a=-1＜0，∴当x=$\frac{3}{2}$时，y_最大=$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线：过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，构造全等三角形和内错角．