Question

【题目】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．

（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接BE交AC于点F，若cos∠CAD= ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，

∵CD是⊙O的切线，

∴CD⊥OC，

又∵CD⊥AD，

∴AD∥OC，

∴∠CAD=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠CAO=∠ACO，

∴∠CAD=∠CAO，

即AC平分∠DAB

（2）解：连接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H．

∵AB是直径，

∴∠AEB=∠DEH=∠D=∠DCH=90°，

∴四边形DEHC是矩形，

∴∠EHC=90°即OC⊥EB，

∴DC=EH=HB，DE=HC，

∵cos∠CAD= = ，设AD=4a，AC=5a，则DC=EH=HB=3a，

∵cos∠CAB= = ，

∴AB= a，BC= a，

在RT△CHB中，CH= = a，

∴DE=CH= a，AE= = a，

∵EF∥CD，

∴ = = ．

【解析】本题考查了切线的性质，平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系的应用，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．（1）连
接OC，根据切线的性质和已知求出OC∥AD，求出∠OCA=∠CAO=∠DAC，即可得出答案；（2）连接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H，根据cos∠CAD= = ，设AD=4a，AC=5a，则DC=EH=HB=3a，根据cos∠CAB= = ，求出AB、BC，再根据勾股定理求出CH，由此即可解决问题；