Question

如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90°，直线l经过点C，AF⊥l于点F，AE⊥l于点E，点D是AB的中点，连接ED．

（1）求证：△ACF≌△CBE；

（2）求证：AF=BE+DE；

（3）如图2，将直线l旋转到△ABC的外部，其他条件不变，（2）中的结论是否仍然成立，如果成立请说明理由，如果不成立AF、BE、DE又满足怎样的关系？并说明理由．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

【分析】（1）根据垂直的定义得到∠BEC=∠ACB=90°，根据全等三角形的性质得到∠EBC=∠CAF，即可得到结论；

（2）如图1，连接DF，CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD=BD，∠CDB=90°，由全等三角形的性质得到BE=CF，CE=AF，推出△BDE≌△CDF，根据全等三角形的性质得到∠EDB=∠FDC，DE=DF，根据余角的性质得到∠EDF=90°，根据等腰直角三角形的性质得到EF=DE，于是得到结论；

（3）不成立，BE+AF=DE，连接CD，DF，由（1）证得△BCE≌△ACF，根据全等三角形的性质得到BE=CF，CE=AF，由（2）证得△DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到EF=DE，即可得到结论．

【解答】证明：（1）∵BE⊥CE，

∴∠BEC=∠ACB=90°，

∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，

∴∠EBC=∠CAF，

∵AF⊥l于点F，

∴∠AFC=90°，

在△BCE与△ACF中，

，

∴△ACF≌△CBE；

（2）如图1，连接DF，CD，

∵点D是AB的中点，

∴CD=BD，∠CDB=90°，

∵△ACF≌△CBE，

∴BE=CF，CE=AF，

∵∠EBD=∠DCF，

在△BDE与△CDF中，

，

∴△BDE≌△CDF，

∴∠EDB=∠FDC，DE=DF，

∵∠CDF+∠FDB=90°，∠EDB+∠BDF=90°，

∴∠EDF=90°，

∴△EDF是等腰直角三角形，

∴EF=DE，

∴AF=CE=EF+CF=BE+DE；

（3）不成立，BE+AF=DE，

连接CD，DF，

由（1）证得△BCE≌△ACF，

∴BE=CF，CE=AF，

由（2）证得△DEF是等腰直角三角形，

∴EF=DE，

∵EF=CE+CF=AF+BE=DE．

即AF+BE=DE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，证得△BCE≌△ACF是解题的关键．