Question

【题目】如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A. D.E在同一直线上，连接BE.

填空：（1），①∠AEB的度数为 ；②线段AD、BE之间的数量关系是 ；

（2）拓展探究：如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，且交BC于点F，连接BE.若∠CAF=∠BAF，BE=2，试求AF的长.

Answer 1

【答案】（1）①60°；②AD=BE；（2）4.

【解析】

（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数；

（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，延长BE交AC的延长线于点G，推出△ACF≌△BCG，根据全等三角形的性质得到AF=BG，由于∠CAF=∠BAF，∠AEB=90°，求得E是BG的中点，即可求出AF=4.

(1)①如图1，

∵△ACB和△DCE均为等边三角形，

∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°.

∴∠ACD=∠BCE.

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE(SAS).

∴∠ADC=∠BEC.

∵△DCE为等边三角形，

∴∠CDE=∠CED=60°.

∵点A,D,E在同一直线上,

∴∠ADC=120°.

∴∠BEC=120°.

∴∠AEB=∠BEC∠CED=60°.

故答案为：60°.

②∵△ACD≌△BCE，

∴AD=BE.

故答案为：AD=BE；

(2)∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，

∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°.

∴∠ACD=∠BCE.

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE(SAS).

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC.

∵△DCE为等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°.

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC=135°.

∴∠BEC=135°.

∴∠AEB=∠BEC∠CED=90°；

延长BE交AC的延长线于点G，

在△ACF和△BCG中,

，

∴△ACF≌△BCG，

∴AF=BG，

∵∠CAF=∠BAF,∠AEB=90°，

∴E是BG的中点，

∵BE=2，

∴AF=4.