Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径作⊙O，BC交⊙O于点D，E是边AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F．
求证：
（1）DE为⊙O的切线．
（2）AB•DF=AC•BF．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，点E为AC中点，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根据切线的判定即可；
（2）证△ABD∽△CAD，推出

AB

AC

=

BD

AD

，再证△FAD∽△FDB，推出

BD

AD

=

BF

DF

，得

AB

AC

=

BF

DF

，即可得出AB•DF=AC•BF．

解答：证明：（1）如图，连接OD、AD．
∵OD=OA，
∴∠2=∠3，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，
∴∠CDA=90°．
又∵E是边AC的中点，
∴DE=AE=

1

2

AC，
∴∠1=∠4，
∴∠4+∠3=∠1+∠2=90°，即°．
又∵AB是⊙O的直径，
∴DE为⊙O的切线；

（2）如图，∵AB⊥AC，AD⊥BC，
∴∠3=∠C（同角的余角相等）．
又∵∠ADB=∠CDA=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴

AB

AC

=

BD

AD

．
易证△FAD∽△FDB，
∴

BD

AD

=

BF

DF

，
∴

AB

AC

=

BF

DF

，
∴AB•DF=AC•BF．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．