Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=4，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．若∠AB′F为直角，则AE的长为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

作EH⊥AB′交AB′的延长线于H．设AE=x．证明Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），得出AC=AB′=4，在Rt△EHB′中，B′H=B′E=（8-x），EH=B′H=

（8-x），在Rt△AEH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解：作EH⊥AB′交AB′的延长线于H，连接AD．设AE=x．

在Rt△ABC中，，BC=4，AC=4，∴AB=8,tanB==

∴∠B=30°.

∵点D是BC的中点，∴BD=DC

由折叠的性质，得BD= DB′.

∴CD=DB′，

∵AD=AD，
∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），
∴AC=AB′=4，
∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°，
∴∠EB′H=60°，
在Rt△EHB′中，B′H=B′E=（8-x），EH=B′H

（8-x），
在Rt△AEH中，∵EH2+AH2=AE2，
∴[（8-x）]2+[4+（8-x）]2=x2，
解得：x=.