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【题目】如图,在ABC中,ABAC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点DDHAC于点H,连接DE交线段OA于点F

1)求证:DH是圆O的切线;

2)若AEH的中点,求的值.

【答案】1)见解析;(2.

【解析】

1)根据同圆的半径相等和等边对等角证明:∠ODB=OBD=ACB,则DHODDH是圆O的切线;

2)如图2,先证明∠E=B=C,则HEC的中点,设AE=xEC=4x,则AC=3x,由OD是△ABC的中位线,得:OD=AC=,证明△AEF∽△ODF,列比例式可得结论;

连接OD,如图1

OBOD

∴△ODB是等腰三角形,

OBD=∠ODB①,

在△ABC中,∵ABAC

∴∠ABC=∠ACB②,

由①②得:∠ODB=∠OBD=∠ACB

ODAC

DHAC

DHOD

DH是圆O的切线;

2)如图2

在⊙O中,∵∠E=∠B

∴由(1)可知:∠E=∠B=∠C

∴△EDC是等腰三角形,

DHAC,且点AEH中点,

AExEC4x,则AC3x

连接AD,则在⊙O中,∠ADB90°,ADBD

ABAC

DBC的中点,

OD是△ABC的中位线,

ODACODAC×3x

ODAC

∴∠E=∠ODF

在△AEF和△ODF中,

∵∠E=∠ODF,∠OFD=∠AFE

∴△AEF∽△ODF

,

,

.

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1)①AC   .②当点FAD上时,用含t的代数式直接表示线段PF的长   

2)当点F与点D重合时,求t的值.

3)设方形EFGH的周长为l,求lt之间的函数关系式.

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