【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点D作DH⊥AC于点H,连接DE交线段OA于点F.
(1)求证:DH是圆O的切线;
(2)若A为EH的中点,求的值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)根据同圆的半径相等和等边对等角证明:∠ODB=∠OBD=∠ACB,则DH⊥OD,DH是圆O的切线;
(2)如图2,先证明∠E=∠B=∠C,则H是EC的中点,设AE=x,EC=4x,则AC=3x,由OD是△ABC的中位线,得:OD=AC=,证明△AEF∽△ODF,列比例式可得结论;
连接OD,如图1,
∵OB=OD,
∴△ODB是等腰三角形,
∠OBD=∠ODB①,
在△ABC中,∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB②,
由①②得:∠ODB=∠OBD=∠ACB,
∴OD∥AC,
∵DH⊥AC,
∴DH⊥OD,
∴DH是圆O的切线;
(2)如图2,
在⊙O中,∵∠E=∠B,
∴由(1)可知:∠E=∠B=∠C,
∴△EDC是等腰三角形,
∵DH⊥AC,且点A是EH中点,
设AE=x,EC=4x,则AC=3x,
连接AD,则在⊙O中,∠ADB=90°,AD⊥BD,
∵AB=AC,
∴D是BC的中点,
∴OD是△ABC的中位线,
∴OD∥AC,OD=AC=×3x=,
∵OD∥AC,
∴∠E=∠ODF,
在△AEF和△ODF中,
∵∠E=∠ODF,∠OFD=∠AFE,
∴△AEF∽△ODF,
∴,
∴,
∴.
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【题目】七年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查,其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项:评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况,绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图(均不完整),请根据图中所给信息解答下列问题:
(1)在这次评价中,一共抽查了________名学生;
(2)在扇形统计图中,项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为________度;
(3)请将频数分布直方图补充完整;
(4)如果全市有8600名七年级学生,那么在试卷评讲课中,“独立思考”的七年级学生约有多少人?
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【题目】如图,A(﹣,0),B(﹣,3),∠BAC=90°,C在y轴的正半轴上.
(1)求出C点坐标;
(2)将线段AB沿射线AC向上平移至第一象限,得线段DE,若D、E两点均在双曲线y=上,
①求k的值;
②直接写出线段AB扫过的面积.
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【题目】已知,,,斜边,将绕点顺时针旋转,如图1,连接.
(1)填空: ;
(2)如图1,连接,作,垂足为,求的长度;
(3)如图2,点,同时从点出发,在边上运动,沿路径匀速运动,沿路径匀速运动,当两点相遇时运动停止,已知点的运动速度为1.5单位秒,点的运动速度为1单位秒,设运动时间为秒,的面积为,求当为何值时取得最大值?最大值为多少?
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【题目】如图,反比例函数的图象与直线y=3x相交于点C,过直线上点A(1,3)作AB⊥x轴于点B,交反比例函数图象于点D,且AB=3BD.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)求点C的坐标;
(3)在y轴上确定一点M,使点M到C,D两点距离之和d=MC+MD最小,求点M的坐标.
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【题目】如图,已知双曲线(k<0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D,且与直角边AB相交于点C.若点A的坐标为(﹣6,4),则△AOC的面积为_____.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=3动点P从点A出发,沿AC以每秒4个单位长度的速度向终点C运动.过点P(不与点A、C重合)作EF⊥AC,交AB或BC于点E,交AD或DC于点F,以EF为边向右作正方形EFGH设点P的运动时间为t秒.
(1)①AC= .②当点F在AD上时,用含t的代数式直接表示线段PF的长 .
(2)当点F与点D重合时,求t的值.
(3)设方形EFGH的周长为l,求l与t之间的函数关系式.
(4)直接写出对角线AC所在的直线将正方形EFGH分成两部分图形的面积比为1:2时t的值.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.从1,2,3,4,5中随机取出一个数,取得偶数的可能性比取得奇数的大
B.若甲组数据的方差S甲2=0.31,乙组数据的方差S乙2=0.02,则甲组数据比乙组数据稳定
C.数据﹣2,1,3,4,4,5的中位数是4
D.了解重庆市初中学生的视力情况,适宜采用抽样调查的方法
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作BE的垂线交AB于点F,⊙O是△BEF的外接圆.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)过点E作EH⊥AB,垂足为H,求证:CD=HF;
(3)若CD=1,EH=3,求BF及AF长.
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