【题目】阅读与思考;
婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家,书写了两部关于数学与天文的书籍,他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位,他的负数及加减法运算仅晚于中国九章算术而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的,他还提出了著名的婆罗摩笈多定理,该定理的内容及证明如下:
已知:如图,四边形ABCD内接与圆O对角线AC⊥BD于点M,ME⊥BC于点E,延长EM交CD于F,求证:MF=DF
证明∵AC⊥BD,ME⊥BC
∴∠CBD=∠CME
∵∠CBD=∠CAD,∠CME=∠AMF
∴∠CAD=∠AMF
∴AF=MF
∵∠AMD=90°,同时∠MAD+∠MDA=90°
∴∠FMD=∠FDM
∴MF=DF,即F是AD中点.
(1)请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程,完成婆罗摩笈多逆定理的证明:
已知:如图1,四边形ABCD内接与圆O,对角线AC⊥BD于点M,F是AD中点,连接FM并延长交BC于点E,求证:ME⊥BC
(2)已知如图2,△ABC内接于圆O,∠B=30°∠ACB=45°,AB=2,点D在圆O上,∠BCD=60°,连接AD 交BC于点P,作ON⊥CD于点N,延长NP交AB于点M,求证PM⊥BA并求PN的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析, PN=1.
【解析】试题分析:(1)由于AC⊥BD,所以∠AMD=90°,∠FAM+∠FDM=90°,由于F是AD的中点,所以AF=MF=DF,从而可证明∠EMC+∠MCB=90°.
(2)由圆周角定理得出∠D=∠B=30°,由三角形内角和定理求出∠DAC=45°,得出△APC是等腰直角三角形,∴PA=PC,∠CPD=90°,由(1)的证明过程可知:PM⊥BA,再由含30°的直角三角形的性质即可求出AP=1,CD=2,最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出PN的长度.
试题解析:(1)∵AC⊥BD,
∴∠AMD=90°,
∵F是AD的中点,
∴AF=MF=DF,
∴∠FAM=∠FMA,
∠FMD=∠FDM,
∵∠FDM=∠MCB,∠FMA=∠EMC,
∠FAM+∠FDM=90°
∴∠EMC+∠MCB=90°,
∴ME⊥BC;
(2)∵∠ACB=45°,∠BCD=60°,
∴∠ACD=45°+60°=105°,
又∵∠D=∠B=30°,
∴∠DAC=180°﹣∠ACD﹣∠D=45°,
∴∠APC=180°﹣45°﹣45°=90°,△APC是等腰直角三角形,
∴PA=PC,∠APC=90°,
∴AD⊥BC,
∵ON⊥CD,
∴由垂径定理可知:N是CD的中点,
∴由(1)的证明过程可知:PM⊥BA
∵AB=2,∠B=30°,
∴AP=1,
∴PC=1,
∵∠D=30°,
∴CD=2PC=2,
∵N是CD的中点,∠CPD=90°,
∴PN=CD=1.
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【题目】如图(1),OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图(2),在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°, AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(2)如图(3),在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其他条件不变,在(1)中所得结论是否仍然成立?请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知EF//AD,∠1=∠2,∠BAC=70o.将求∠AGD的过程填写完整.
解: ,
________( )
又 ,
( )
( )
________
( )
又 ,
________
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知的三条边长分别为6,8,12,过
任一顶点画一条直线,将
分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画( )
A.6条B.7条C.8条D.9条
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点
,点
.
(1)只用直尺(没有刻度)和圆规,求作一个点P,使点P同时满足下列两个条件
①点P到A,B两点的距离相等;
②点P到的两边的距离相等.
(要求保留作图痕迹,不必写出作法)
(2)在(1)作出点P后,点P的坐标为_________.
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【题目】计算
(1)(﹣7.3)+5
(2)3﹣(﹣5)
(3)
(4)(﹣12)÷(﹣)
(5)4.7﹣(﹣8.9)﹣7.5+(﹣6)
(6)﹣3.5÷×|﹣
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【题目】我国是一个严重缺水的国家.为了加强公民的节水意识,某市制定了如下用水收费标准:每户每月的用水不超过6吨时,水价为每吨2元,超过6吨时,超过的部分按每吨3元收费.该市某户居民5月份用水x吨,应交水费y元.
(1)若0<x≤6,请写出y与x的函数关系式.
(2)若x>6,请写出y与x的函数关系式.
(3)如果该户居民这个月交水费27元,那么这个月该户用了多少吨水?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,E,F是四边形ABCD的对角线BD上的两点,AE∥CF,AB∥CD,BE=DF,则下列结论:
①AE=CF,②AD=BC,③AD∥BC,④∠BCF=∠DAE,
其中正确的个数为( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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