Question

【题目】（1）如图，已知△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE∥BC，DE=BC．

（2）利用第（1）题的结论，解决下列问题：

①如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF∥BC，FE=（AD+BC）

②如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别在边AB，BC上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，求EF长度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析，②3

【解析】

（1）延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF，证明四边形BCFD是平行四边形即得；

（2）①连接AF，并延长AF交BC延长线于点M，先证明，进而得出，再根据（1）的结论即得；

②连接DM，根据（1）的结论得出EF=DM，进而得出当DM最大时，EF最大，再根据勾股定理求出DM的值，进而得出EF的值．

（1）如下图，延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF，

∵D、E分别是AB、AC的中点

∴，AD=BD

在和中

∴

∴∠A=∠ECF，AD=CF

∴CF∥AB

又∵AD=BD

∴CF=BD

∴四边形BCFD是平行四边形

∴DF=BC，DE∥BC

∵EF=DE

∴DE=DF=BC

∴DE∥BC，DE=BC

（2）①连接AF，并延长AF交BC延长线于点M

∵AD∥BC

∴

∵F分别是CD的中点

∴DF=FC

∵

∴

∴

∴BM=AD+BC

∵E、F分别是AB、CD的中点

∴EF∥BC，FE=BM

∴EF∥BC，FE=（AD+BC）

②解：连接DM

∵点E，F分别为MN，DN的中点

∴由（1）知EF=DM

∴DM最大时，EF最大

∵M与B重合时DM最大

∴DM=DB==6

∴EF的最大值为3．