【题目】已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角三角板的直角顶点P放在射线OM上，OP=2，移动直角三角板，两边分别交射线OA，OB与点C，D.
（1）如图，当点C、D都不与点O重合时，求证：PC=PD；
（2）联结CD，交OM于E，设CD=x，PE=y，求y与x之间的函数关系式；
（3）如图，若三角板的一条直角边与射线OB交于点D，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，F，且△PDF与△OCD相似，求OD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）2．
【解析】
（1）作PH⊥OA于H，PN⊥OB于N，由直角三角形的性质可知∠PHC=∠PND=90°，则∠HPC+∠CPN=90°，再由ASA定理得出△PCH≌△PDN，由此可得出结论；
（2）根据（1）中PC=PD可得出∠POB=∠PDC，故△PDE∽△POD，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（3）根据题意画出图形，假设△PDF与△OCD相似，再由相似三角形的性质即可得出结论．
证明：作PH⊥OA于H，PN⊥OB于N，
则∠PHC=∠PND=90°，则∠HPC+∠CPN=90°
∵ ∠CPN+∠NPD=90°
∴∠HPC=∠NPD，
∵OM是∠AOB的平分线
∴PH=PN，∠POB=45°，
∵在△PCH与△PDN中，
，
∴△PCH≌△ PDN（ASA）
∴PC=PD；
（2）解：∵PC=PD，
∴∠PDC=45°，
∴∠POB=∠PDC，
∵∠DPE=∠OPD，
∴△ PDE∽ △ POD，
∴PE：PD=PD：PO，
又∵PD2=
CD2，
∴PE=
x2，即y与x之间的函数关系式为y=x2；
（3）如图1，点C在AO上时，
∵∠PDF＞∠CDO，
令△PDF∽△OCD，
∴∠ DFP=∠CDO，
∴CF=CD，
∵CO⊥ DF
∴OF=OD
∴ OD=DF=OP=2；
数学奥赛暑假天天练南京大学出版社系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】小盛和丽丽在学完了有理数后做起了数学游戏
（1）规定用四个不重复（绝对值小于
）的正整数通过加法运算后结果等于
小盛：
；丽丽：
，问是否还有其他的算式，如果有请写出来一个，如果没有，请简单说明理由；
（2）规定用四个不重复（绝对值小）的整数通过加法运算后结果等
小盛：
；丽丽：
；请根据要求再写出一个与他们不同的算式．
（3）用（2）中小盛和丽丽的算式继续排列下去组成一个数列，使相邻的四个数的和都等于，小盛：
，
，
，
，
丽丽：，
，，
，
则
______；
_______．求丽丽写出的数列的前
项的和．
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【题目】如图，⊙O是
ABC的外接圆，AB是圆的直径，直线AC与过B点的切线相交于点D，E是BD的中点，连接CE.
（1）求证：CE是圆O的切线；
（2）如图，CF⊥AB，垂足为F，若⊙O的半径为3，BE=4,求CF的长.
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【题目】某市为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费．如图是居民每户每月的水（自来水）费y（元）与所用的水（自来水）量x（吨）之间的函数图象．根据如图图象提供的信息，解答下列问题：
（1）当一户居民在某月用水为15吨时，求这户居民这个月的水费．
（2）当17≤x≤30时，求y与x之间的函数关系式；并计算某户居民上月水费为91元时，这户居民上月用水量多少吨？
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【题目】如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成2个半圆，每一个扇形或半圆都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为x，乙转盘中指针所指区域内的数字为y（当指针指在边界线上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止）．
（1）请你用画树状图或列表格的方法，列出所有等可能情况，并求出点（x，y）落在坐标轴上的概率；
（2）直接写出点（x，y）落在以坐标原点为圆心，2为半径的圆内的概率．
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【题目】如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处40
米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿与地面成30°角的斜面DB前进20米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈
，计算结果用根号表示，不取近似值）．
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【题目】如图，直线AB//CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EP平分∠AEF，FP平分∠CFE，∠BEP＝α，∠DFP＝β，则a＋β＝( )
A.180°B.225°C.270°D.315°
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【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC是经过⊙H的圆心，交⊙H于点D、E，AB、AC是圆的切线，F、G是切点．
（1）求证：BH＝CH；
（2）填空：①当∠FHG＝ 时，四边形FHCG是平行四边形；
②当∠FED＝ 时，四边形AFHG是正方形．
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