Question

【题目】如图，⊙O是ABC的外接圆，AB是圆的直径，直线AC与过B点的切线相交于点D，E是BD的中点，连接CE.

（1）求证：CE是圆O的切线；

（2）如图，CF⊥AB，垂足为F，若⊙O的半径为3，BE=4,求CF的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）

【解析】

（1）根据圆周角定理由AB为⊙的直径得∠ACB=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质结合等边对等角，所以有∠1+∠2=∠3+∠4，证得OC⊥CE，然后根据切线的判定定理得CE是⊙O的切线；
（2）在Rt△ABD中，根据勾股定理计算出AD，再证明Rt△ABC∽Rt△ADB，利用相似比计算出AC，然后证明△ACF∽△ADB，利用相似比可计算得出结论.

（1）连接OC，

∵AB为⊙O的直径，且BD是⊙O的切线，

∴∠ACB=∠BCD=∠ABD=90°，

∵CE为斜边BD上的中线，

∴CE=BE=DE，

∴∠2=∠3，

∵OB=OC，

∴∠1=∠4

∴∠1+∠2=∠3+∠4，即∠OCE=∠OBE=90°，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切线；

（2）∵BE=4，半径为3，

∴BD=2BE=8，AB=6，

在Rt△ABD中，

∴，

∵∠ACB=∠ABD=90°，

∴Rt△ABC∽Rt△ADB，

∴，即，

∴，

∵CF⊥AB，

∴∠AFC=∠ABD=90°，

∴CF∥BD ，

∴△ACF∽△ADB，

∴，即

∴.