Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B的平分线交于点P，过点P作PE⊥AB交AB于点E.若BC=5，AC=12，则AE等于______ .

Answer 1

【答案】10

【解析】

过P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N．在直角△ABC中利用勾股定理求出AB的长，由题意可知点P为△ABC内切圆的圆心，设内切圆P的半径为r，利用切线长定理用含r的式子表示出AE=12-r和BE=5-r，根据AB=13列出方程17-2r=13，求出r=2，进而得到AE．

如图，过P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N．

∵在△ABC中，∠C=90°，

∴四边形PMCN为正方形，

∵在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，
∴AB=．
∵∠A和∠B的平分线交于点P，
∴点P为△ABC内切圆的圆心，

设直角△ABC内切圆P的半径为r，

∴CM=CN=PM=r，
则AE=AM=AC-r=12-r，BE=BN=BC-r=5-r，
AB=AE+BE=12-r+5-r=17-2r，
∴17-2r=13，
∴r=2，
∴AE=12-2=10．
故答案为：10．