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【题目】已知抛物线yx2+mx2m4m0).

1)证明:该抛物线与x轴总有两个不同的交点;

2)设该抛物线与x轴的两个交点分别为AB(点A在点B的右侧),与y轴交于点CABC三点都在P上.

试判断:不论m取任何正数,P是否经过y轴上某个定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,说明理由;

若点C关于直线x的对称点为点E,点D01),连接BEBDDE,△BDE的周长记为l,⊙P的半径记为r,求的值.

【答案】1)证明见解析;(2)①定点F的坐标为(01);②

【解析】

(1)令y=0,再求出判别式,判断即可得出结论;

(2)先求出OA=2,OB=m+2,OC=2(m+2),

①判断出∠OCB=OAF,求出tanOCB=,即可求出OF=1,即可得出结论;

②先设出BD=n,再判断出∠DCE=90°,得出DE是⊙P的直径,进而求出BE=2n,DE=n,即可得出结论.

(1)令y=0,x2+mx﹣2m﹣4=0,

∴△=m2﹣4[﹣2m﹣4]=m2+8m+16,

m>0,

∴△>0,

∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点;

(2)令y=0,x2+mx﹣2m﹣4=0,

(x﹣2)[x+(m+2)]=0,

x=2x=﹣(m+2),

A(2,0),B(﹣(m+2),0),

OA=2,OB=m+2,

x=0,y=﹣2(m+2),

C(0,﹣2(m+2)),

OC=2(m+2),

①通过定点(0,1)理由:如图,

∵点A,B,C在⊙P上,

∴∠OCB=OAF,

RtBOC中,tanOCB

RtAOF中,tanOAF

OF=1,

∴点F的坐标为(0,1);

②如图1,

由①知,点F(0,1).

D(0,1),

∴点D在⊙P

∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点,

∴∠DCE=90°,

DE是⊙P的直径,

∴∠DBE=90°,

∵∠BED=OCB,

tanBED

BD=n,RtBDE中,tanBED

BE=2n,根据勾股定理得:DEn,

l=BD+BE+DE=(3)n,rDEn,

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