【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P(-1,2),AB⊥x轴于点E,正比例函数y=mx的图像与反比例函数的图像相交于A,P两点。
(1)求m,n的值与点A的坐标;
(2)求证:∽
(3)求的值
【答案】(1),
,
点的坐标是
;(2)见解析;(3)
.
【解析】
(1)根据点P的坐标,利用待定系数法可求出m,n的值,利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标即可解答;
(2)由菱形的性质可得出AC⊥BD,AB∥CD,利用平行线的性质可得出∠DCP=∠OAE,结合AB⊥x轴可得出∠AEO=∠CPD=90°,进而即可证出△CPD∽△AEO;
(3)由点A的坐标可得出AE,OE,AO的长,由相似三角形的性质可得出∠CDP=∠AOE,再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值.
解:(1)∵正比例函数,反比例函数
均经过点
,
∴,
,
解得:,
.
∴正比例函数,反比例函数
.
又正比例函数与反比例函数均是中心对称图形,则其两个交点也成中心对称点,
∵,
∴点的坐标是
.
(2)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AB∥CD,
∴∠DCP=∠BAP,即∠DCP=∠OAE.
∵AB⊥x轴,
∴∠AEO=∠CPD=90°,
∴△CPD∽△AEO.
(3)∵点的坐标是
.
∴,
,
∴,
∵,
∴△CPD∽△AEO,
∴.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,对于下列说法:其中正确的有( )
①ac>0,
②2a+b>0,
③4ac<b2,
④a+b+c<0,
⑤当x>0时,y随x的增大而减小,
A.5个B.4个C.3个D.2个
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【题目】观察下面三行数:
2,﹣4,8,﹣16,32,﹣64,…
4,﹣2,10,﹣14,34,﹣62,…
﹣1,2,﹣4,8,﹣16,32,…
在上面三行数的第n列中,从上往下的三个数分别记为a,b,c,观察这些数的特点,根据你所得到的规律,解答下列为问题.
(1)用含n的式子分别表示出a,b,c;
(2)根据(1)的结论,若a,b,c三个数的和为770,求n的值.
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【题目】已知二次函数y=x2﹣4x+3.
(1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象;
(2)若三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3.y3)且2<x1<x2<x3,则y1,y2,y3的大小关系为 .
(3)把所画的图象如何平移,可以得到函数y=x2的图象?请写出一种平移方案.
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【题目】规定:在平面直角坐标系中,如果点P的坐标为(m,n),向量可以用点P的坐标表示为:
=(m,n).已知
=(x1,y1),
=(x2,y2),如果x1x2+y1y2=0,那么
与
互相垂直,在下列四组向量中,互相垂直的是( )
A.=(3,20190),
=(﹣3﹣1,1)
B.=(
﹣1,1),
=(
+1,1)
C.=(
),
=((﹣
)2,8)
D.=(
+2,
),
=(
﹣2,
)
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【题目】定义:三角形一边上的点将该边分为两条线段,且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方,则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1,△ABC中,点D是BC边上一点,连结AD,若,则称点D是△ABC中BC边上的“好点”.
(1)如图2,△ABC的顶点是网格图的格点,请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”.
(2)△ABC中,BC=9,,
,点D是BC边上的“好点”,求线段BD的长.
(3)如图3,△ABC是的内接三角形,OH⊥AB于点H,连结CH并延长交
于点D.
①求证:点H是△BCD中CD边上的“好点”.
②若的半径为9,∠ABD=90°,OH=6,请直接写出
的值.
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【题目】一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4.随机摸取一个小球然后放回,再随机摸出一个小球,请用树状图或列表法求下列事件的概率.
(1)两次取出的小球的标号相同;
(2)两次取出的小球标号的和等于6.
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【题目】如图1,在面积为49cm2的等腰Rt△ABC纸板中,在直角边AB,AC上各取一点E,F,BE=CF,D为BC的中点,将△BDE,△CDF分别沿DE,DF折叠,对应边B′D,C′D分别交AB,AC于点G,H,再将△AGH沿GH折量,点A的对应点A落在△GHD的内部(如图2所示),翻面画上眼睛和鼻子,得到了一幅可爱的“猫脸图”(如图3所示),若点B′与点C′之间的距离为cm,则五边形GHFDE的面积为_____cm2.
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【题目】在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只,某学习小组做摸球试验,将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回袋中,不断重复.表是活动进行中的一组统计数据:
摸球的次数n | 100 | 150 | 200 | 500 | 800 | 1000 |
摸到白球的次数m | 58 | 96 | 116 | 295 | 484 | 601 |
摸到白球的频率 | 0.58 | 0.64 | 0.58 | 0.59 | 0.605 | 0.601 |
(1)请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近 ;随机摸出一个球,摸到白球的概率是 ,摸到黑球的概率是 ;
(2)试估算:口袋中黑球的个数 ,白球的个数 ;
(3)从口袋中任意摸出一个球,记下颜色后放回口袋中搅拌均匀,再任意摸出一个球,两次摸到的球的颜色正好相同的概率为多少?
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