Question

【题目】如图1，在面积为49cm2的等腰Rt△ABC纸板中，在直角边AB，AC上各取一点E，F，BE＝CF，D为BC的中点，将△BDE，△CDF分别沿DE，DF折叠，对应边B′D，C′D分别交AB，AC于点G，H，再将△AGH沿GH折量，点A的对应点A落在△GHD的内部（如图2所示），翻面画上眼睛和鼻子，得到了一幅可爱的“猫脸图”（如图3所示），若点B′与点C′之间的距离为cm，则五边形GHFDE的面积为_____cm2．

Answer 1

【答案】

【解析】

连接AD，B′C′，EF，AD交GH于J，交B′C′于Q，交EF于P，EF交C′D于N．在Rt△DHB′中，利用勾股定理求出DQ，tan∠QDC′＝＝＝，设JH＝3a，JD＝4a，则AJ＝JH＝3a，构建方程求出a，设PN=3b，PD=4b，同理可求得b=，即可解决问题．

解：如图，连接AD，B′C′，EF，AD交GH于J，交B′C′于Q，交EF于P，EF交C′D于N．则由折叠的性质知BC//EF//GH// B′C′．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝DC，

∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD，

∵S△ABC＝BCAD＝AD2＝49，

∴AD＝BD＝CD＝7，

由题意：B′Q＝C′Q＝，

在Rt△DQB′中，DQ＝＝，

∴tan∠QDC′＝＝＝，设JH＝3a，JD＝4a，则AJ＝JH＝3a，

∴7a＝7，

∴a＝1，

∴JH＝AJ＝3，DJ＝4，

设PN=3b，PD=4b，则ND=5b．

∵BC//EF，

∴∠PND=∠NDC，

∵∠PND=∠NDF+∠NFD，∠NDC=∠NDF+∠FDC，∠NDF=∠FDC，

∴∠NDF=NFD，

∴NF=ND=5b，

∴PF=3b+5b=8b．

∵∠AFP=∠C=45°，

∴AP=PF=5b，

∴AD=8b+4b=12b，

∴12b=7，

∴b=，

∴PD=．

∴S五边形GHFDE＝S△ABC﹣S△AHG﹣2S△DFC

＝49﹣×6×3﹣2××7×

＝，

故答案为．