Question

【题目】如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．且CE=CF．

（1）求证：直线CA是⊙O的切线；

（2）若BD=DC，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）若要证明直线CA是⊙O的切线，则只要证明∠ACB=90°即可；

（2）易证△ADF∽△ACE，由相似三角形的性质以及结合已知条件即可求出的值．

试题解析：解：（1）证明：∵BC为直径，∴∠BDC=∠ADC=90°，∴∠1+∠3=90°

∵AE平分∠BAC，CE=CF，∴∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠2+∠3=90°，∵∠3=∠4，∴∠2+∠5=90°，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴直线CA是⊙O的切线；

（2）由（1）可知，∠1=∠2，∠3=∠5，∴△ADF∽△ACE，∴ ，∵BD=DC，∴tan∠ABC= =，∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACD+∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACD，∴tan∠ACD=，∴sin∠ACD=，∴=．