Question

【题目】直线MN与线段AB相交于点O，点C、点D分别为射线ON，OM上两点，且满足∠ACN=∠ODB=45°．

（1）如图1，当点C与点O重合时，且AO=OB，请直接写出AC与BD的数量关系；

（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转α°（0＜a＜45），如图2所示，若AO=OB，（1）中的AC与BD的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，若AO=kOB．

①请求出的值；

②若k=，∠AOC=30°，BD=3，请直接写出OC的长．

Answer 1

【答案】（1）AC=BD；（2）成立；（3）①k；②；

【解析】

（1）先根据∠BOD和∠BDO的度数，判断DB与OB的数量关系以及位置关系，再得出AO与BD的数量关系与位置关系；

（2）先分别过点A，B作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，通过判定△AOE≌△BOF，得到AE=BF，由∠ACN=∠BDN=45°，得∠AEC=∠BFD=90°，求出AC=AE，BD=BF，得出AC与BD的数量关系；

（3）分别过点A，B作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，由△AEO∽△BFO，得，再求出AC=AE，BD=BF，得出AC与BD的比值．在Rt△ACE中，∠ACE=45°，AE=CE=2，在Rt△AOE中，∠AOE=30°，可得OE=AE=2，可得到OC.

解：（1）∵点O和点C重合，

∴AC=OA．∠AON=∠ACN=45°，

∵∠BDO=∠ACN=45°，

∴∠BDO=∠BOD=45°，

∴BD=OB，

∵OA=OB，

∴AC=BD；

（2）成立，理由：如图2，分别过点A，B作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，

∴∠AEC=∠BFO=∠BFD=90°，

在△AOE和△BOF中，，

∴△AOE≌△BOF，

∴AE=BF，

∵∠ACN=∠BDN=45°，

∴∠AEC=∠BFD=90°，

∴AC=AE，BD=BF，

∴AC=BD；

（3）①如图3，分别过点A，B作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，

∴∠AEC=∠BFO=∠BFD=90°，

∵∠AOE=∠BOF，

∴△AEO∽△BFO，

∴=k，

∵∠ACN=∠BDN=45°，

∴∠AEC=∠BFD=90°，

∴AC=AE，BD=BF，

∴=k；

②如图3，由①知， =k，

∵k=，BD=3，

∴AC=2，

在Rt△ACE中，∠ACE=45°，

∴AE=CE=2，

在Rt△AOE中，∠AOE=30°，

∴OE=AE=2，

∴OC=2（﹣1）．