Question

3．老师将作业写在黑板上时，只写了题干，没有写问题，她让学生自己写问题然后进行解答．芳芳写了三个问题，请你解答芳芳的问题．
老师给的题干：
已知O为直线AB上的一点，CD⊥AB于点O，PO⊥EO于点O，OM平分∠COE，F在OE的反向延长线上．
（1）当OP在∠BOC内、OE在∠BOD内时，如图1所示，试判断∠POM和∠COF之间的数量关系，并说明理由；
（2）当OP在∠AOC内、OE在∠BOC内时，如图2所示，试问（1）中∠POM和∠COF之间的数量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）当OP在∠AOD内、OE在∠AOC内时，如图3所示，继续探究∠POM和∠COF之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用垂直的定义，CD⊥AB，PO⊥EO，等量代换得∠COP=∠BOE，利用角平分线的性质，得$∠POM=\frac{1}{2}∠POB=\frac{1}{2}（90°-∠POC）$，∠COF=90°-∠COP，得出结论；
（2）利用垂直的定义，OP⊥OE，∠POM=90°-∠MOE，OM平分∠COE，∠COE=2∠MOE，由邻补角定义∠COF=180°-∠COE，等量代换得出结论；
（3）利用垂直的定义，OP⊥OE，∠POM=90°+∠MOE，OM平分∠COE，∠COE=2∠MOE，由邻补角定义∠COF=180°+∠COE，等量代换得出结论．

解答 解：（1）∠POM=$\frac{1}{2}$∠COF．
证明：∵CD⊥AB，
∴∠COP+∠BOP=90°，
∵OP⊥OE，
∴∠BOE+∠BOP=90°，
∴∠COP=∠BOE，
∵OM平分∠COE，
∴$∠POM=∠MOB=\frac{1}{2}∠POB=\frac{1}{2}（90°-∠POC）$，
∵∠COF=90°-∠COP，
∴$∠POM=\frac{1}{2}∠COF$；

（2）不变化．
证明：∵OP⊥OE，
∴∠POM=90°-∠MOE，
∵∠COF=180°-∠COE，
∵OM平分∠COE，
∴∠COE=2∠MOE，
∴∠COF=180°-2∠MOE=2∠POM，
∴∠POM=$\frac{1}{2}$∠COF；

（3）不变化．
证明：∵OP⊥OE，
∴∠POE=90°，
∴∠POM=90°+∠EOM，
∠COF=180°+∠COE，
∵OM平分∠COE，
∴∠COE=2∠MOE，
∴∠COF=180°+2∠MOE，
∴∠POM=$\frac{1}{2}$∠COF；

点评 本题主要考查了垂直的定义，角平分线的性质，数形结合，找出角与角间的关系是解决此题的关键．