Question

11．如图，将矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD=8，AB=4，连接AC′
（1）判断AC′与BD的位置关系并证明你的结论．
（2）求三角形BDE的面积．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质和折叠的性质得出∠C′BD=∠DBC=∠BDA，可得DE=BE，证出AE=C′E，得出AE：DE=C′E：BE，即可得出结论；
（2）设DE=x，则AE=8-x．根据勾股定理求BE及DE的长，即可求出△BDE的面积．

解答 解：（1）AC′∥BD；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DBC=∠BDA，
由折叠的性质得：∠C′BD=∠DBC，BC′=BC，
∴∠C′BD=∠BDA，BC′=AD，
∴DE=BE，
∴AE=C′E，
∴AE：DE=C′E：BE，
∴AC′∥BD；
（2）设DE=BE=x，则AE=8-x．
在△ABE中，x²=4²+（8-x）²．
解得：x=5．
∴DE=5，
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}$×5×4=10．

点评 此题考查了折叠变换的性质、矩形的性质、勾股定理、平行线的判定、等腰三角形的判定；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，证明DE=BE是解决问题的关键．