Question

【题目】定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形，如图，在互补四边形纸片ABCD中，BA＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠ADC＝30°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的纸片从一个顶点出发的直线裁剪，把剪开的纸片打开后铺平，若铺平后的纸片中有一个面积为4的平行四边形，则CD的长为__．

Answer 1

【答案】2+4或+2．

【解析】

根据题意结合裁剪的方法得出符合题意的图形有两个，分别利用菱形的判定与性质以及勾股定理得出CD的长．

解：如图1所示：从顶点A（或C）剪开纸片，四边形ABCE是平行四边形，

根据题意可知：

∵BA＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°

∴△ABD≌△CBD（SAS）

∴∠ABD＝∠CBD＝75°，

∵四边形ABCE是面积为4的平行四边形，AB＝CB

∴ABCE是菱形，

∴△BCE的面积为2，CB＝CE＝AB，

∴∠BCE＝30°，

作BG⊥CE于点G，

∴BC＝2BG，

∴CE＝2BG，

∴S△BCE＝CEBG=2

∴BG2＝2，

∴BG＝，CE＝2，

∴CG＝BG＝，

∴CF＝CG+GF＝CG+AB＝CG+CE＝+2．

∵∠ADC＝30°，∠CFD＝90°

∴CD＝2CF＝2+4．

如图2，从顶点B剪开纸片，当四边形BEDF是平行四边形时，

∵BE=BF，
∴平行四边形BEDF是菱形，
∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，
∴∠ADB=∠BDC=15°，
∵BE=DE，
∴∠AEB=30°，
∴设AB=y，则BE=2y，AE= y，

∴DE=2y，
∵四边形BEDF面积为4，
∴AB×DE=4，
即2y2=4，

解得：y=，

故AE=，DE=2，
则CD=AD=+2，
综上所述：CD的值为：2+4或+2．

故答案为2+4或+2．