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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A(﹣1,0)、B(3,0),与y轴负半轴交于点C.

(1)若△ABD为等腰直角三角形,求此时抛物线的解析式;
(2)a为何值时△ABC为等腰三角形?
(3)在(1)的条件下,抛物线与直线y= x﹣4交于M、N两点(点M在点N的左侧),动点P从M点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点N,若使点P运动的总路径最短,求点P运动的总路径的长.

【答案】
(1)

解:如图1,

∵△ABD是等腰直角三角形,

∴过点D作直线l∥y轴,直线l与x轴交于点I.

∴AI=ID=IB= AB=2,

∴D(1,﹣2),

∴设y=a(x+1)(x﹣3)=ax2﹣2ax﹣3a,

∴a﹣2a﹣3a=﹣2,

∴a=

∴y= x2﹣x﹣


(2)

解:∵△ABC为等腰三角形,

∴①AB=BC=4,

∴OC= =

∴﹣3a=﹣

∴a=

②AB=AC=4,

∴OC= =

∴C(0,﹣ ),

∴﹣3a=﹣

∴a=


(3)

解:如图2,

∵抛物线与直线y= x﹣4交于M、N两点,

∴M(2,﹣ ),N( ,﹣ ).

作点M关于对称轴l的对称点G,

点N关于x轴的对称点H,

连接GH交l于E,x轴于F,

∴EM=EH,FN=FH

∴点P运动的总路径为GH,

∵G(0,﹣ ),H( ),

∴GH=


【解析】(1)由△ABD是等腰直角三角形确定出D(1,﹣2),用待定系数法确定出函数关系式;(2)由△ABC为等腰三角形,利用勾股定理求出a即可;(3)由于抛物线与直线y= x﹣4交于M、N两点,先求出M,N的坐标,利用对称性求出点G,H的坐标即可.

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