【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A(﹣1,0)、B(3,0),与y轴负半轴交于点C.
(1)若△ABD为等腰直角三角形,求此时抛物线的解析式;
(2)a为何值时△ABC为等腰三角形?
(3)在(1)的条件下,抛物线与直线y= x﹣4交于M、N两点(点M在点N的左侧),动点P从M点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点N,若使点P运动的总路径最短,求点P运动的总路径的长.
【答案】
(1)
解:如图1,
∵△ABD是等腰直角三角形,
∴过点D作直线l∥y轴,直线l与x轴交于点I.
∴AI=ID=IB= AB=2,
∴D(1,﹣2),
∴设y=a(x+1)(x﹣3)=ax2﹣2ax﹣3a,
∴a﹣2a﹣3a=﹣2,
∴a= ,
∴y= x2﹣x﹣ ,
(2)
解:∵△ABC为等腰三角形,
∴①AB=BC=4,
∴OC= = ,
∴﹣3a=﹣ ,
∴a= ,
②AB=AC=4,
∴OC= = ,
∴C(0,﹣ ),
∴﹣3a=﹣ ,
∴a=
(3)
解:如图2,
∵抛物线与直线y= x﹣4交于M、N两点,
∴ ,
∴ , ,
∴M(2,﹣ ),N( ,﹣ ).
作点M关于对称轴l的对称点G,
点N关于x轴的对称点H,
连接GH交l于E,x轴于F,
∴EM=EH,FN=FH
∴点P运动的总路径为GH,
∵G(0,﹣ ),H( , ),
∴GH=
【解析】(1)由△ABD是等腰直角三角形确定出D(1,﹣2),用待定系数法确定出函数关系式;(2)由△ABC为等腰三角形,利用勾股定理求出a即可;(3)由于抛物线与直线y= x﹣4交于M、N两点,先求出M,N的坐标,利用对称性求出点G,H的坐标即可.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知DE∥BC,BE平分∠ABC,∠C=65°,∠ABC=50°.
(1)求∠BED的度数;
(2)判断BE与AC的位置关系,并说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B,抛物线y=﹣ (x﹣m)2+n的顶点P在直线y=﹣x+4上,与y轴交于点C(点P、C不与点B重合),以BC为边作矩形BCDE,且CD=2,点P、D在y轴的同侧.
(1)n=(用含m的代数式表示),点C的纵坐标是(用含m的代数式表示);
(2)当点P在矩形BCDE的边DE上,且在第一象限时,求抛物线对应的函数解析式;
(3)直接写出矩形BCDE有两个顶点落在抛物线上时m的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的顶点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,1),点C在第一象限,对角线BD与x轴平行.直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点E,F.将菱形ABCD沿x轴向左平移k个单位,当点C落在△EOF的内部时(不包括三角形的边),k的值可能是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=30°,AC=12cm,点E从点A出发沿AB以每秒lcm的速度向点B运动,同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动,运动时间为t秒(0<t<6),过点D作DF⊥BC于点F.
(I)试用含t的式子表示AE、AD、DF的长;
(Ⅱ)如图①,连接EF,求证:四边形AEFD是平行四边形;
(Ⅲ)如图②,连接DE,当t为何值时,四边形EBFD是矩形?并说明理由.
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【题目】如图,直线AB,CD相交于O点,OM平分∠AOB.
(1)若∠1=∠2,求∠NOD的度数;
(2)若∠BOC=4∠1,求∠AOC与∠MOD的度数.
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【题目】用火柴棒按下列方式搭建三角形:
…
(1)填表:
三角形个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
火柴棒根数 | … |
(2)当三角形的个数为n时,火柴棒的根数是多少?
(3)求当n=1 000时,火柴棒的根数是多少.
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