Question

20．如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B（0，4）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在x轴上有一点P，点P在直线AB的垂线段为PC，C为垂足，且PC=$\sqrt{2}$，求点P的坐标；
（3）如图（2），将原抛物线向左平移，使平移后的抛物线过原点，与原抛物线交于点D，在平移后的抛物线上是否存在点E，使S_△APE=S_△ACD？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、B两点的坐标可求得解析式；
（2）由OA=OB=4知∠OAB=∠OBA=45°，根据sin∠PAC=$\frac{PC}{PA}$、PC=$\sqrt{2}$可得PA的长，从而由OP=OA-PA或OP=OA+AP得出答案；
（3）由平移后的抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²-3x得出D（-2，4），分点P在AO上和点P在OA延长线上利用割补法求得△ACD的面积为1，设点E（a，b），根据S_△APE=S_△ACD得 $\frac{1}{2}$×2×|b|=1．即|-$\frac{1}{2}$a²-3a|=1，解方程即可得出答案．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c过点A（-4，0），B（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-8-4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴所求抛物线的函数解析式是y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4．

（2）∵A（-4，0），B（0，4），
∴OA=OB=4．
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°．
设PC⊥AB，则∠ACP=90°，PC=$\sqrt{2}$．

Rt△ACP中，sin∠PAC=$\frac{PC}{PA}$，
∴PA=$\frac{\sqrt{2}}{sin45°}$=2．
∴OP=OA-PA=2或OP=OA+AP=6．
∴点P的坐标为：P₁（-2，0），P₂（-6，0）．

（3）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4向左平移后过原点，
∴平移后的抛物线的函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-3x．
由-$\frac{1}{2}$x²-x+4=-$\frac{1}{2}$x²-3x．
解得  x=-2．
∴y=-$\frac{1}{2}$×（-2）²-3×（-2）=4．
∴点D的坐标为（-2，4）．
如图2，①当点P在AO上时，设P₁C₁⊥AB，过C₁作C₁N⊥x轴，垂足为N，

在Rt△AC₁P₁中，∵∠C₁AP₁=45°，AP₁=2，
∴AC₁=P₁C₁=$\sqrt{2}$．
∴AN=NC₁=1．
∴点C₁的坐标为（-3，1）．
∴${S}_{△A{C}_{1}D}$=${S}_{△AD{P}_{1}}$-${S}_{△A{C}_{1}{P}_{1}}$-${S}_{△{C}_{1}D{P}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×2×1-$\frac{1}{2}$×4×1=4-1-2=1．
②当点P在OA延长线上时，同理可得点C₂的坐标为（-5，-1）．${S}_{△A{C}_{2}D}$=1，
设点E（a，b），当S_△APE=S_△ACD时，有 $\frac{1}{2}$×2×|b|=1．即|-$\frac{1}{2}$a²-3a|=1．
∴-$\frac{1}{2}$a²-3a=1或-$\frac{1}{2}$a²-3a=-1．
∴a₁=-3+$\sqrt{7}$，a₂=-3-$\sqrt{7}$，a₃=-3+$\sqrt{11}$，a₄=-3-$\sqrt{11}$．
∴存在点E，使S_△APE=S_△ACD，点E的坐标为：（-3+$\sqrt{7}$，1）或（-3-$\sqrt{7}$，-1）或（-3+$\sqrt{11}$，-1）或（-3-$\sqrt{11}$，-1）．

点评 本题主要考查二次函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的应用及割补法求三角形的面积、解绝对值方程的能力是解题的关键．