Question

17．如图，已知?ABCD的顶点A（0，0），B（4，1），C（6，8）
（1）求顶点D的坐标；
（2）若DE=2EC，F为AD的中点，求AE与BF的交点I的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据?ABCD的顶点是A（0，0），B（4，1），C（6，8），过点D作DM⊥y轴于M，过点C作CH⊥x轴于H，过点B作BN⊥CH于N，连接AC，得到AM∥CN，CH=8，BN=2，∠MAC=∠ACN，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD=BC，CD∥AB，∠DAC=∠ACB，∠MAD=∠BCN，所以△MAD≌△BCN，所以DM=BN=2，AM=CN=7，得到D（2，7）；
（2））如图2过D作DG⊥x轴于G，过E作EP⊥x轴于P，过C作CQ⊥x轴于Q，得到DG∥EP∥CQ，DE=2EC，得到GP=2PQ，AG=2，AQ=6，GQ=4，GP=$\frac{8}{3}$，AP=$\frac{14}{3}$，
C（6，8），D（2，7），求得直线CD的解析式；y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{13}{2}$，当点E的横坐标=$\frac{14}{3}$时，代入直线CD的解析式得；点E的纵坐标为$\frac{53}{6}$，求出点E（$\frac{14}{3}$，$\frac{15}{2}$），
因为F为AD的中点，F（1，$\frac{7}{2}$），把点A、E代入y=kx+b中得：直线AE的解析式为y=$\frac{45}{28}$x，把点B、F代入y=kx+b中得：直线BF的解析式为y=-$\frac{5}{6}$x+$\frac{13}{3}$，
联立方程组即可求得结果

解答 解：（1）如图1，?ABCD的顶点A（0，0），B（4，1），C（6，8），
过点D作DM⊥y轴于M，过点C作CH⊥x轴于H，过点B作BN⊥CH于N，连接AC，
∴AM∥CN，CH=8，BN=2，
∴∠MAC=∠ACN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，CD∥AB，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠MAD=∠BCN，
在△ADM与△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠CNB}\\{∠MAD=∠BCN}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△MAD≌△BCN（AAS），
∴DM=BN=2，AM=CN=7，
∴D（2，7）；
（2）如图2，过D作DG⊥x轴于G，过E作EP⊥x轴于P，过C作CQ⊥x轴于Q，
∴DG∥EP∥CQ，
∵DE=2EC，∴GP=2PQ，
∵AG=2，AQ=6，
∴GQ=4，∴GP=$\frac{8}{3}$，AP=$\frac{14}{3}$，
∵C（6，8），D（2，7），
∴直线CD的解析式；y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{13}{2}$，
当点E的横坐标=$\frac{14}{3}$时，代入直线CD的解析式得：点E的纵坐标$\frac{15}{2}$，
∴点E（$\frac{14}{3}$，$\frac{23}{3}$），
∵F为AD的中点，
∴F（1，$\frac{7}{2}$），
把点A、E代入y=kx+b中得：直线AE的解析式为y=$\frac{45}{28}$x，
把点B、F代入y=kx+b中得：直线BF的解析式为y=-$\frac{5}{6}$x+$\frac{13}{3}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{45}{28}x}\\{y=-\frac{5}{6}x+\frac{13}{3}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{312}{205}}\\{y=\frac{377}{123}}\end{array}\right.$，
∴I（$\frac{312}{205}$，$\frac{377}{123}$）．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的判定，求点的坐标，待定系数法求一次函数的解析式等知识点．