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【题目】如图①,ABC是等腰直角三角形,在两腰ABAC外侧作两个等边三角形ABDACEAMAN分别是等边三角形ABDACE的角平分线,连接CMBNCMAB交于点P

1)求证:CMBN

2)如图②,点F为角平分线AN上一点,且∠CPF30°,求证:APF∽△AMC

3)在(2)的条件下,求的值.

【答案】1)见解析(2)见解析(3

【解析】

1)根据△ABC是等腰直角三角形,AMAN分别是等边三角形ABDACE的角平分线,即可得到ABAC,∠BAC90°,∠BAM=∠CAN30°AMAN,进而得出△BAN≌△CAM,进而得到CMBN

2)依据∠APF=∠AMC,∠MAC=∠PAF120°,即可判定△APF∽△AMC

3)连接CF,依据AFCP四点共圆,可得∠AFP+∠CFN90°,根据∠CFN+∠FCN90°,可得∠FCN=∠AFP=∠ACM.再根据∠FNC=∠PAC90°,可得△PAC∽△FNC,进而得出2①;根据△APF∽△AMC,可得②,联立①②可得,进而得到

1)∵△ABC是等腰直角三角形,AMAN分别是等边三角形ABDACE的角平分线,

ABAC,∠BAC90°,∠BAM=∠CAN30°AMAN

∴∠BAN=∠CAM120°

∴△BAN≌△CAM

CMBN

2)∵∠APF=∠APCCPF=∠APC30°,∠AMC=∠APCMAB=∠APC30°

∴∠APF=∠AMC

又∵∠MAC=∠PAF120°

∴△APF∽△AMC

3)如图②,连接CF

∵△APF∽△AMC

∴∠AFP=∠ACM

AFCP四点共圆,

∴∠PFC=∠PAC90°

∴∠AFP+∠CFN90°

∵∠CFN+∠FCN90°

∴∠FCN=∠AFP=∠ACM

又∵∠FNC=∠PAC90°

∴△PAC∽△FNC

=2①;

∵△APF∽△AMC

②,

由①可得,FNAP;由②可得,AFAP

∵△APF∽△AMC

AMAN

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