Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD⊥BC，BD与AC相交于点E，AB=9，BC=4，DC=3．

（1）求BE的长度；
（2）求△ABE的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵CD⊥BC，

∴∠DCB=90°，

在Rt△BCD中，BC=4，DC=3，

根据勾股定理得：BD= =5，

∵AB∥CD，

∴△ABE∽△CDE，

∴DC：AB=DE：BE=3：9=1：3，

又∵BD=5，

∴BE= BD=

（2）解：作EF⊥AB，EH⊥CD，

∵△ABE∽△CDE，

∴EF：EH=DC：AB=1：3，

又∵BC=4，

∴FE= BC=3，EF的长，

则S△ABE=AB×EF× = ．

【解析】（1）在Rt△BCD中根据勾股定理得出BD的长，根据平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截得的三角形与原三角形相似得出△ABE∽△CDE，根据相似三角形对应边成比例得出DC：AB=DE：BE=3：9=1：3，从而得出答案；
（2）作EF⊥AB，EH⊥CD，根据相似三角形对应高的比等于相似比得出EF的长，从而根据三角形的面积公式计算即可。
【考点精析】关于本题考查的相似三角形的判定与性质，需要了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．