Question

18．如图，已知A（-4，$\frac{1}{2}$），B（-1，2）是一次函数y=kx+b反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）求一次函数解析式及m的值；
（2）P是线段AB上的一点，连PC、PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A、B的坐标代入一次函数解析式中，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；将点B的坐标代入反比例函数中，可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（2）根据A、B点的坐标可以找出C、D点的坐标，由此可得出线段AC、BD的长度以及直线AC、BD的函数解析式，设点P的坐标为（m，$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$），根据点到直线的距离以及三角形的面积公式可以得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值，代入到P点的坐标即可得出结论．

解答 解：（1）将A（-4，$\frac{1}{2}$），B（-1，2）代入一次函数解析式中，得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=\frac{1}{2}}\\{-k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
故一次函数的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$．
将B（-1，2）代入反比例函数解析式中，得2=$\frac{m}{-1}$，
解得：m=-2．
（2）∵A（-4，$\frac{1}{2}$），B（-1，2），且AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D，
∴C（-4，0），D（0，2），
∴AC=$\frac{1}{2}$，BD=1，
直线AC的解析式为x=-4，直线BD的解析式为y=2，
设点P的坐标为（m，$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$），
P点到直线AC的距离为|m-（-4）|，P点到直线BD的距离为|2-（$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$）|．
∵△PCA面积和△PDB面积相等，
∴$\frac{1}{2}$AC•|m-（-4）|=$\frac{1}{2}$BD•|2-（$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$）|，
解得：m=-$\frac{5}{2}$，
点P的坐标为（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、点到直线的距离以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）找出关于m的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，（1）用到了待定系数法求函数解析式，这个是考试必考内容之一，再日常做题中应多加练习；（2）巧妙的利用点到直线的距离代替了高，减少了运算量．