Question

20．我们新定义一种三角形，若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为“奇高三角形”．如图1，在△ABC中，AD为BC边上的高，若AB²-AC²=AD²，则△ABC为奇高三角形．
（1）求证：BD=AC；
（2）若在图1中∠BAC=90°，BC=a，AC=b，BA=c，
①求证：c²=ab；
②D是（选填“是”或“不是”）BC的黄金分割点；
（3）若图1中的奇高三角形，满足BA=BC，过D作DE∥AC交AB于E（如图2），试探究线段DE与DC的大小关系并证明．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理得出AD²=AB²-BD²，即可得出答案；
（2）①根据已知得出c²-b²=AD²，证△BAD∽△ACD，推出AD²=BD×CD=b（a-b）=ab-b²，即可得出答案；②证△CAD∽△CBA，推出AC²=CD×BC，求出BD²=AC²=b²=CD×BC即可；
（3）过B作BM⊥DE于M，求出DE=2DM，证△ADC≌△BMD，推出DC=DM即可．

解答 （1）证明：∵AB²-AC²=AD²，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD²=AB²-BD²，
∴AC²=BD²，
∴BD=AC；

（2）解：①∵∠BAC=90°，BC=a，AC=b，BA=c，△ABC为奇高三角形，
∴c²-b²=AD²，
∵AD⊥BC，
∴∠BAC=∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
∴△BAD∽△ACD，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{CD}{AD}$，
∴AD²=BD×CD=b（a-b）=ab-b²，
∴c²-b²=ab-b²，
∴c²=ab；

②解：D是BC的黄金分割点，
理由是：∵∠C=∠C，∠CAD=∠B，
∴△CAD∽△CBA，
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{BC}{AC}$，
∴AC²=CD×BC，
∵AC=BD=b，BC=a，
∴BD²=AC²=b²=CD×BC，
∴D是BC的黄金分割点，
故答案为：是；

（3）DE=2DC，
证明：过B作BM⊥DE于M，
∵AD⊥BC，
∴∠BMD=∠ADC=90°，
∵DE∥AC，
∴∠C=∠BDE，∠BAC=∠BED，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C，
∴∠BED=∠BDE，
∴BE=BD，
∵BM⊥DE，
∴DM=ME，
即DE=2DM，
∵由（1）知：BD=AC，
在△ADC和△BMD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠BDM}\\{∠ADC=∠BMD}\\{AC=BD}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△BMD，
∴DC=DM，
∵DE=2DM，
∴DE=2DC．

点评 本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，有一定的难度．