Question

5．先观察图1，直线l₁∥l₂，点A，B在直线l₂上，点C₁，C₂，C₃，C₄在直线l₁上，△ABC₁，△ABC₂，△ABC₃，△ABC₄这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由．

现在我们来探讨以下问题：
（1）若把图2的四边形ABCD改成一个三角形，并保持面积不变，可怎样改？你有多少种不同的改法？
（2）已知四边形ABCD（如图2），若把它改成一个以AB为一条底边的梯形或平行四边形，并保持面积不变，可怎样改？请画图说明．

Answer 1

分析 根据两平行线间的距离相等，即可解答；
（1）由DE∥AC，根据同底等高，△DAC和△EAC的面积相等，所以四边形ABCD与△ABE面积相等．
（2）第一步，把四边形ABCD等积变成以AB为底边的△ABE，第二步，把△ABE等积变成以AB为底边的平行四边形ABFG．

解答 解：△ABC₁，△ABC₂，△ABC₃，△ABC₄这些三角形的面积相等，
理由：∵直线l₁∥l₂，
∴△ABC₁，△ABC₂，△ABC₃，△ABC₄的底边AB上的高相等，
∴△ABC₁，△ABC₂，△ABC₃，△ABC₄这4个三角形同底，等高，
∴△ABC₁，△ABC₂，△ABC₃，△ABC₄这些三角形的面积相等．
（1）如图：

①连接AC，
②过点D作AC的平行线，与BC的延长线交于点E
③连接AE，
△ABE就是适合条件的一个三角形．
理由如下：由DE∥AC，可得△DAC和△EAC的面积相等（同底等高），
所以四边形ABCD与△ABE面积相等．
有四种不同的改法．
（2）如图：

第一步，把四边形ABCD等积变成以AB为底边的△ABE，
①、连接BD，
②、过C作CE∥BD交AD的延长线于E，
③、连接BE．
因为△BDC与△BDE面积相等，所以△ABE与四边形ABCD面积相等．
第二步，把△ABE等积变成以AB为底边的平行四边形ABFG，
④、作出△ABE的高EH，⑤、作EH的垂直平分线MN，交AE于G，交EH于O，
⑥、过B作BF∥AD，交MN于F．
由作法知ABFG是平行四边形，因为它的高OH=$\frac{1}{2}$EH，所以ABFG与三角形ABE等积，
也就与四边形ABCD等积．

点评 本题考查了平行线之间的距离、运用作图工具的能力，以及运用三角形、等底等高性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．还渗透了由“特殊”到“一般”的数学思想．