Question

17．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象相交于点A（1，-4）、点B（3，n）．
（1）求此一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据点A求出m值，再根据反比例函数解析式求出n值，利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）利用三角形的面积差求解．S_△AOB=S_△AOC-S_△BOC=8-$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$．

解答 解：（1）将点A（1，-4）代入y=$\frac{m}{x}$中，-4=$\frac{m}{1}$，
∴m=-4
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{4}{x}$，
将B（3，n）代入y=-$\frac{4}{x}$中，n=-$\frac{4}{3}$，
∴B点坐标为（3，-$\frac{4}{3}$），
将A（1，-4）、B（3，-$\frac{4}{3}$）的坐标分别代入y=kx+b中，得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-4}\\{3k+b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{16}{3}}\end{array}\right.$
∴一次函数的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$；
（2）设一次函数解析式图象与x轴交与点C，当y=0时，$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$=0，
解得x=4，
∴C点坐标（4，0），
∴OC=4，
S_△AOC=$\frac{1}{2}$•OC•|y_A|=$\frac{1}{2}$×4×4=8，S_△BOC=$\frac{1}{2}$•OC•|y_B|=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，
S_△AOB=S_△AOC-S_△BOC=8-$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．