Question

6．已知⊙O的直径为$\sqrt{5}$，锐角△ABC内接于⊙O，且AB=2，BE⊥AC于E，则sin∠CBE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 连接OA、OB，由于OM⊥AB，根据垂径定理易证得∠BOM=$\frac{1}{2}$∠AOB，而由圆周角定理可得∠BCE=$\frac{1}{2}$∠AOB=∠BOM，因此∠CBE=∠OBM，只需求得∠OBM的正弦值即可；在Rt△OBM中，由垂径定理可得BM=1，已知⊙O的半径OB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，由勾股定理可求得OM，即可求出∠OBM即∠CBE的正弦值，由此得解．

解答 解：连接OA、OB，作OM⊥AB，
∵OM⊥AB，
∴AM=BM=1，∠BOM=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∵∠BCE=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴∠BCE=∠BOM，
∵BE⊥AC，
∴∠CBE=∠OBM，
在Rt△OBM中，OB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
OM=$\sqrt{{OB}^{2}{-BM}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{\sqrt{5}}{2}）}^{2}{-1}^{2}}$=$\frac{1}{2}$
∴sin∠OBM=sin∠CBE=$\frac{OM}{OB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
故答案为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理的综合应用能力，能够根据已知条件找到∠CBE=∠OBM，是解决问题的关键．