Question

9．两数和为14，积为-1，则这两个数为7+5$\sqrt{2}$，7-5$\sqrt{2}$；x²+（2k+1）x+k²-2=0的两根平方和为11，则k=1．

Answer 1

分析 设两个数分别为a、b，根据根与系数的关系得到以a、b为根的一元二次方程x²-14x-1=0，然后解方程即可；设x²+（2k+1）x+k²-2=0的两根为m、n，根据根与系数的关系得到m+n=-（2k+1），mn=k²-2，由m²+n²=11得到（m+n）²-2mn=-11，则（2k+1）²-2（k²-2）=11，解得k₁=-3，k₂=1，然后根据判别式的意义确定k的值．

解答 解：设两个数分别为a、b，
以a、b为根的一元二次方程为x²-14x-1=0，
解得a=7+5$\sqrt{2}$，b=7-5$\sqrt{2}$；
设x²+（2k+1）x+k²-2=0的两根为m、n，
则m+n=-（2k+1），mn=k²-2，
∵m²+n²=11，
∴（m+n）²-2mn=-11，
∴（2k+1）²-2（k²-2）=11，解得k₁=-3，k₂=1，
当k=-3时，方程化为x²-5x+7=0，△＜0，方程没有实数解，
∴k的值为1．
故答案为7+5$\sqrt{2}$，7-5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．