Question

17．已知E是矩形ABCD对角线AC上一点，且BE=$\sqrt{2}$AE，求证：∠CDE=2∠ABE．

Answer 1

分析 延长BE交CD的延长线于点F，取EF的中点G，连接DG、CG，可得△BAE∽△FCE，根据三角形的相似得出EF和CE的关系，进而证明△ABE∽△GCE，得出∠ABE=∠ECG，证得点A、B、C、G四点共圆，根据点A、B、C、D四点共圆可得A、B、C、D、G五点共圆，得出∠BGD=∠BAD=90°，GD为EF的中垂线，进而证得：∠CDE=2∠ABE．

解答 证明：延长BE交CD的延长线于点F，取EF的中点G，连接DG、CG，
则△BAE∽△FCE，
∴$\frac{EF}{CE}$=$\frac{BE}{AE}$=$\sqrt{2}$，
∴EF=$\sqrt{2}$CE，
∴$\frac{CE}{EG}$=$\frac{CE}{\frac{\sqrt{2}}{2}CE}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{CE}{EG}$=$\frac{BE}{AE}$，
∴△ABE∽△GCE，
∴∠ABE=∠ECG，
则点A、B、C、G四点共圆，
∵点A、B、C、D四点共圆，
∴点A、B、C、D、G五点共圆，
∴∠BGD=∠BAD=90°，
∴DG垂直平分EF，
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠F，
∴∠CDE=∠DEF+∠F=2∠F=2∠ABE．

点评 本题考查了四点共圆的知识：将四点连成一个四边形，若对角互补，那么这四点共圆，解答本题的关键是根据相似三角形的判定和性质得出∠ABE=∠ECG，证得点A、B、C、G四点共圆．