Question

18．如图，抛物线y₁=a（x+2）²-3与y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y₂的值总是正数；②a=$\frac{2}{3}$；③当x=0时，y₂-y₁=6；④AB+AC=10；⑤y_1最小-y_2最小=-4．
其中正确结论的个数是：4．

Answer 1

分析 根据非负数的性质即可判断①，把点A（1，3）代入y₁=a（x+2）²-3即可求出a的值，把x=0代入两个解析式，求出y₂和y₁，把y=3代入两个解析式，即可求出点B和点C的横坐标，即可求出AB+BC的值，根据二次函数顶点坐标式求出y_1最小和y_2最小即可．

解答 解：∵$\frac{1}{2}$（x-3）²≥0，
∴y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1＞0，
∴无论x取何值，y₂的值总是正数，①正确；
∵抛物线y₁=a（x+2）²-3与y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1交于点A（1，3），
∴3=9a-3，
∴a=$\frac{2}{3}$，②正确；
当x=0时，y₁=-$\frac{1}{3}$，y₂=$\frac{11}{2}$，当x=0时，y₂-y₁=$\frac{35}{6}$，③错误；
当y=3时，y₁=$\frac{2}{3}$（x+2）²-3=3，解得x=-5或1，
y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1=3，解得x=1或5，
即AB+AC=10，④正确；
y₁=a（x+2）²-3最小值为-3，y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1最小值为1，
y_1最小-y_2最小=-4，⑤正确，
综上正确的有①②④⑤，
故答案为4．

点评 本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是根据二次函数的顶点坐标式得到二次函数图象的开口方向，对称轴以及顶点坐标等，此题难度不大．