Question

7．如图，以BC为直径，以O为圆心的半圆交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，BC²=CF•AC，cos∠ABD=$\frac{3}{5}$，AD=12．
（1）求证：FB是圆O的切线；
（2）求证：$\frac{B{F}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{BD}{CD}$；
（3）连接AE，求AE•MN的值．

Answer 1

分析 （1）如图，要证明FB是圆O的切线，只要证明∠FBC=90°；根据已知条件BC²=CF•AC，联想到相似三角形的判定，只要证明△BCF∽△ACB，得到∠FBC=∠BAC，即可解决问题．
（2）如图，根据要证明结论的结构特点，观察图形，数形结合，很容易联想到射影定理；运用射影定理，结合平行线的性质，即可解决问题．
（3）观察图形，容易猜想四边形AMEN为菱形；证明四边形AMEN为菱形，此为解决该题的关键性结论；分别求出AN、DE的长度，运用菱形的面积公式，即可求出AE•MN的值．

解答 解：（1）如图，∵BC²=CF•AC，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CF}{BC}$，而∠C=∠C，
∴△BCF∽△ACB，
∴∠FBC=∠BAC；而BC为半⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，∠FBC=90°，
∴FB是圆O的切线．
（2）由射影定理得：BF²=AF•CF，BC²=AC•CF，
∴$\frac{B{F}^{2}}{B{C}^{2}}=\frac{AF•CF}{AC•CF}=\frac{AF}{AC}$①；
∵AD⊥BC，ME⊥BC，
∴AD∥ME，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{BD}{DC}$②；
由①②知：$\frac{B{F}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{BD}{CD}$．
（3）如图，连接AE；
∵BM平分∠ABE，且MA⊥AB，ME⊥BE，
∴MA=ME，AN∥ME；设∠ABM=∠DBN=α，
则∠AMN=90°-α，∠ANM=∠BND=90°-α，
∴∠AMN=∠ANM，AM=AN，
∴AN=ME；而AN∥ME，
∴四边形AMEN为平行四边形；而AM=AN，
∴四边形AMEN为菱形，AE⊥MN；
∵cos∠ABD=$\frac{3}{5}$，AD=12．
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{3}{5}$；设BD=3λ，则AB=5λ；
由勾股定理得：（5λ）²=（3λ）²+12²，
解得：λ=3，BD=9，AB=15；
由勾股定理可证：BE=BA=15，
∴DE=15-9=6；而BN平分∠ABD，
∴$\frac{AN}{DN}=\frac{AB}{BD}$，而BD=9，AB=15，AD=12，
解得：AN=$\frac{15}{2}$；由面积公式得：
$AN•DE=\frac{1}{2}AE•MN$
∴AE•MN=2×$\frac{15}{2}$×6=90．

点评 该题以圆为载体，主要考查了切线的判定、射影定理、平行线的性质、角平分线的性质、菱形的判定、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是数形结合，准确找出图形中隐含的相等或相似关系；解题的关键是灵活运用射影定理、平行线的性质、角平分线的性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答．