Question

10．若x是不等于1的实数，我们把$\frac{1}{1-x}$称为x“差倒数”，如2的差倒数是$\frac{1}{1-2}$=-1，-1的差倒数为$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$．现已知x₁=-$\frac{1}{3}$，x₂是x₁的差倒数，x₃是x₂的差倒数，x₄是x₃的差倒数，…，依此类推，则x₂₀₁₅的值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 根据差倒数的定义分别计算出x₁=-$\frac{1}{3}$，x₂=$\frac{3}{4}$；x₃=4，x₄=-$\frac{1}{3}$，…得到从x₁开始每3个值就循环，而2015÷3=671…2，即可得出答案．

解答 解：∵x₁=-$\frac{1}{3}$，
∴x₂=$\frac{1}{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{4}$；
x₃=$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}$=4；
x₄=$\frac{1}{1-4}$=-$\frac{1}{3}$；
…，
∴三个数一个循环，
∵2015÷3=671…2，
∴x₂₀₁₅=x₂=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 此题考查了数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．