Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，⊙A的半径为1，圆心A点的坐标为（1，﹣2）．直线OM是一次函数y=x的图像．让⊙A沿y轴正方向以每秒1个单位长度移动，移动时间为t．

（1）填空：

①直线OM与x轴所夹的锐角度数为 °；

②当t= 时，⊙A与坐标轴有两个公共点；

（2）求出运动过程中⊙A与直线OM相切时的t的值．

Answer 1

【答案】（1）①45；②1秒或2秒或3秒；（2） 或．

【解析】

（1）①利用直线y=x上点的坐标特征易得直线y=x为第一、三象限的角平分线，则直线OM与x轴所夹的锐角度数为45°；

②根据直线与圆的位置关系得到⊙A沿y轴正方向运动时，⊙A始终与y轴相切，所以当⊙A与x轴相切或点A在x轴上时，⊙A与坐标轴有两个公共点，易得t=1或t=2或t=3；

（2）分两种情况画出图形，解答即可．

（1）①∵直线y=x上点到x轴和y轴的距离相等，∴直线y=x为第一、三象限的角平分线，∴直线OM与x轴所夹的锐角度数为45°；

②∵⊙A的半径为1，圆心A点的坐标为（1，﹣2），∴⊙A沿y轴正方向运动时，⊙A始终与y轴相切，当⊙A与x轴相切或点A在x轴上时，⊙A与坐标轴有两个公共点．

当⊙A与x轴相切时，则点A与x轴的距离为1，得到t=1或3；

当点A在x轴上，则t=2；

所以t=1或t=2或t=3．

故答案为：45，1秒或2秒或3秒；

（2）分两种情况讨论：

①如图1，作AB⊥y轴于B，AC⊥直线OM于C，AH⊥x轴于H，交直线OM于P，则OB=t﹣2，AB=AC=1，OH=1．

∵直线OM与x轴所夹的锐角度数为45°，∴∠POH=45°，∴∠OPH=45°，∴∠APC=45°，∴△OPH和△APC都是等腰直角三角形，∴PH=OH=1，APAC，∴AH=AP+PH1，而AH=OB，∴t﹣2，∴t=；

②如图2，作AB⊥y轴于B，AC⊥直线OM于C，CD⊥x轴于D，CD交BA与F，则OB=DF=2﹣t，AB=AC=1．

∵OB、OC都是⊙A的切线，∴OB=OC=2﹣t．

∵直线OM与x轴所夹的锐角度数为45°，∴∠COD=45°，∴△ODC是等腰直角三角形，∠OCD=45°，∴OD=CD==．

∵∠OCA=90°，∠OCD=45°，∴∠ACF=45°，∴△ACF是等腰直角三角形，∴ACAF．

∵AF=BA-BF=，∴=1，解得：∴2﹣t=，∴t=．

综上所述：或．