Question

【题目】如图，在在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，且AD＝12cm，AB＝8cm，DC＝10cm，若动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：

（1）BC＝　 　cm；

（2）当t＝　 　秒时，四边形PQBA成为矩形．

（3）是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）18；（2）；（3）存在t，使得△DQC是等腰三角形，此时t的值为秒或4秒或秒．

【解析】

（1）作DE⊥BC于E，则四边形ABED为矩形．在直角△CDE中，已知DC、DE的长，根据勾股定理可以计算EC的长度，根据BC＝BE+EC即可求出BC的长度；

（2）当PA＝BQ时，四边形PQBA为矩形，根据PA＝QB列出关于t的方程，解方程即可；

（3）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程＝速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．

解：根据题意得：PA＝2t，CQ＝3t，则PD＝AD﹣PA＝12﹣2t，

（1）如图，过D点作DE⊥BC于E，则四边形ABED为矩形，DE＝AB＝8cm，AD＝BE＝12cm，

在直角△CDE中，∵∠CED＝90°，DC＝10cm，DE＝8cm，

∴EC＝＝6cm，

∴BC＝BE+EC＝18cm．

故答案为18；

（2）∵AD∥BC，∠B＝90°

∴当PA＝BQ时，四边形PQBA为矩形，

即2t＝18﹣3t，

解得t＝秒，

故当t＝秒时四边形PQBA为矩形；

故答案为

（3）△DQC是等腰三角形时，分三种情况讨论：

①当QC＝DC时，即3t＝10，

∴t＝；

②当DQ＝DC时，＝6，

∴t＝4；

③当QD＝QC时，3t＝5，

∴t＝．

故存在t，使得△DQC是等腰三角形，此时t的值为秒或4秒或秒．