Question

1．二次函数y=ax²+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（-1，0）、B（4，0）
（1）求此二次函数的表达式
（2）如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（-$\frac{7}{6}$，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标
（3）如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，点P为抛物线上一动点，若∠PMA=45°，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求得点C的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），将点C的坐标代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）先求得抛物线的对称轴，然后求得CD，EF的长，设点N的坐标为（0，a）则ND=4-a，NE=a，然后依据相似三角形的性质列出关于a的方程，然后可求得a的值；
（3）过点A作AD∥y轴，过点M作DM∥x轴，交点为D，过点A作AE⊥AM，取AE=AM，作EF⊥x轴，垂足为F，连结EM交抛物线与点P．则△AME为等腰直角三角形，然后再求得点M的坐标，从而可得到MD=2，AD=6，然后证明∴△ADM≌△AFE，于是可得到点E的坐标，然后求得EM的解析式为y=-2x+8，最后求得直线EM与抛物线的交点坐标即可．

解答 解：（1）当x=0时，y=4，
∴C（0，4）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），将点C的坐标代入得：-4a=4，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+3x+4．
（2）x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{3}{2}$．
∴CD=$\frac{3}{2}$，EF=$\frac{8}{3}$．
设点N的坐标为（$\frac{3}{2}$，a）则ND=4-a，NE=a．
当△CDN∽△FEN时，$\frac{EN}{DN}=\frac{EF}{CD}$，即$\frac{a}{4-a}=\frac{′16}{9}$，解得a=$\frac{64}{25}$，
∴点N的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{64}{25}$）．
当△CDN∽△NEF时，$\frac{CD}{NE}=\frac{DN}{EF}$，即$\frac{a}{\frac{3}{2}}$=$\frac{\frac{8}{3}}{4-a}$，解得：a=2．
∴点N的坐标为（$\frac{3}{2}$，2）．
综上所述，点N的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{64}{25}$）或（$\frac{3}{2}$，2）．
（3）如图所示：过点A作AD∥y轴，过点M作DM∥x轴，交点为D，过点A作AE⊥AM，取AE=AM，作EF⊥x轴，垂足为F，连结EM交抛物线与点P．

∵AM=AE，∠MAE=90°，
∴∠AMP=45°．
将x=1代入抛物线的解析式得：y=6，
∴点M的坐标为（1，6）．
∴MD=2，AD=6．
∵∠DAM+∠MAF=90°，∠MAF+∠FAE=90°，
∴∠DAM=∠FAE．
在△ADM和△AFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠AFE=90°}\\{∠DAM=∠FAE}\\{AM=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△AFE．
∴EF=DM=2，AF=AD=6．
∴E（5，-2）．
设EM的解析式为y=kx+b．
将点M和点E的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=6}\\{5k+b=-2}\end{array}\right.$，解得k=-2，b=8，
∴直线EM的解析式为y=-2x+8．
将y=-2x+8与y=-x²+3x+4联立，解得：x=1或x=4．
将x=4代入y=-2x+8得：y=0．
∴点P的坐标为（4，0）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质，通过作辅助线构造等腰直角三角形、全等三角形求得点E的坐标是解题的关键．