Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9，AB＝12，BC＝15．动点P从点B出发，沿BD向点D匀速运动；线段EF从DC出发，沿DA向点A匀速运动，且与BD交于点Q，连接PE、PF．若P、Q两点同时出发，速度均为1个单位∕秒，当P、Q两点相遇时，整个运动停止．设运动时间为t（s）．

（1）当PE∥AB时，求t的值；

（2）设△PEF的面积为S，求S关于t的函数关系式；

（3）如图2，当△PEF的外接圆圆心O恰好在EF的中点时，求t的值.

 

Answer 1

（1）当PE∥AB时，∠DEP＝90º，AD＝AE＋ED＝＋t＝9，…………………（2分）

解得t＝………………………………………………                  （3分）

（2）如图1，过点P作BC的平行线，交EF于G

       易得BD＝15＝BC，………………………（4分）

       于是DQ＝DE＝t，PG＝PQ＝15－2t……（5分）

       ∴S＝PG•AB＝×12(15－2t)＝90－12t…（6分）

 （3）如图2，过点P作BC的垂线，交AD于M，交BC

于N，若△PEF的外接圆圆心O恰好在EF的中点，

即EF为直径，于是∠EPF＝90º，易证△EMP∽△PNF…（7分）

从而＝，可得＝………（8分）

解得t＝或 ……………………………（9分）

注意到2t≤15，取t＝…………………（10分）