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【题目】如图,在中,的平分线于点,过点于点,以为直径作⊙.

(1)求证:是⊙的切线;

(2) AC=3BC=4,求BE的长.

【答案】(1)证明见解析;(2) .

【解析】

1)连接OD,由AE为直径、DEAD可得出点D在⊙O上且∠DAO=ADO,根据AD平分∠CAB可得出∠CAD=DAO=ADO,由内错角相等,两直线平行可得出ACDO,再结合∠C=90°即可得出∠ODB=90°,进而即可证出BC是⊙O的切线;

2)在RtACB中,利用勾股定理可求出AB的长度,设OD=r,则BO=5-r,由ODAC可得出 ,代入数据即可求出r值,再根据BE=AB-AE即可求出BE的长度.

解:(1)证明:连接.

AE为直径,

在上⊙

又∵AD平分

,即

又∵OD为半径

是⊙的切线

(2) ∵在RtACB中,AC=3BC=4

AB=5.

OD=r,则BO=5r.

ODAC

∴△BDO∽△BCA

,

解得:r=

BE=ABAE=5 = .

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